TantárgyakMatematikaEmelt szintEgyenletmegoldási módszerek, ekvivale...
ProfilJegyzet beküldéseGYIKRólunk
Ez a jegyzet félkész. Kérjük, segíts kibővíteni egy javaslat beküldésével!

Egyenletmegoldási módszerek, ekvivalencia, gyökvesztés, hamis gyök. Másodfokú és másodfokúra visszavezethető egyenletek.

Egyenlet definíciója: két függvényt egyenlővé teszünk. f : A \to B , f(x) = g(x). Azok az A-beli elemek, amelyekre az egyenlőség teljesül, az egyenlet gyökei.

Osztályozás: Algebrai és transzcendens

Transzcendens egyenletek

  • trigonometrikus egyenletek
  • logaritmusos egyenletek
  • exponenciális egyenletek
  • differenciálegyenletek

Algebrai egyenletek

Egyismeretlenes egyenletek:

Algebrai egyenlet: Ha egy polinomot nullával egyenlővé teszünk, algebrai egyenletet kapunk. Az egyenlet megoldásai alkotják az egyenlet igazsághalmazát.

Algebra alaptétele: n-edfokú egyenletnek pontosan n megoldása van, de n-edfokú egynletnek legfejlebb n darab valós megoldása van. (előfordulhat, hogy két gyök egyenlő)

  1. Elsőfokú egyenlet:
    a * x + b = 0
  2. Másodfokú egyenlet:(megoldóképlettel)
    ax^2 + bx + c = 0
    x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2*a}
  3. Harmadfokú egyenlet:
    • ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, a 3 gyök megadható a Cardano-képlet segítségével, bár az eredményeket komplex formában adja meg.
  4. Negyedfokú egyenlet:
    • van megoldóképlete.
  5. n-ed fokú egyenletek:
    • P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0

Bizonyított állítás (Gelois-Abel tétel): 5-ödfokútól felfele nem létezik megoldóképlet

A reciprokegyenleteket még meg lehet oldani a 9. fokig.

Megoldási módszerek

  1. Grafikus megoldás:
    Az egyenlet, egyenlőtlenség mindkét oldalát egy-egy függvényként ábrázoljuk közös koordináta rendszerben. Az egyenlet megoldása a két grafikon metszéspontjainak x koordinátája.
  2. Közelítő értékkel számolás
  3. Mérlegelv / algebrai megoldás:
    Egy egyenlet megoldáshalmaza nem változik, ha az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot hozzáadjuk, vagy ugyanazzal a 0-tól különböző számmal megszorozzuk. (kölcsönösen ekvivalens változtatásokat hajtunk végre)
  4. Értelmezési tartomány vizsgálatával:
    Megnézzük, hogy az egyenlet két oldalának mi az értelmezési tartománya, és ha nincs közös halmazuk, akkor az egyenletnek sincs megoldása. Pl.: \sqrt{x + 5} = \sqrt{x - 5}
  5. Értékkészlet vizsgálattal:
    Megnézzük, hogy az egyenlet két oldalának mi az értékkészlete, és az alapján állapítjuk meg, hány gyöke és hol van az egyenletnek. Pl.: |x + 2| + |x - 4| + |x + 6| = 0 ; 2^x + 2^{-x} = \sin x
  6. Új változó bevezetésével – Pl.: reciprokegyenleteknél
  7. Megoldóképlettel az egyenlet fokától függően

Gyökvesztés, gyökvonás

  • Pl.: négyzetre emelésnél hamis gyököt hozhatunk létre
  • Pl.: ellipszis egyenletének levezetésénél

Gyökvesztés: x-el való leosztás esetén ha x = 0 / vagy gyökvonás esetén ha x = 0.

Viète formulák

Másodfokú egyenletnél: ax^2 + bx + c = 0
x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}
x_1 * x_2 = \frac{c}{a}

A formula általánosítható n-ed fokú egyenletre:
x_1 + x_2 + ... + x_n = - \frac{a_{n-1}}{a_n}
x_1 * x_2 * ... * x_n = (-1)^n * \frac{a_0}{a_n}

Alkalmazások

Koordináta geometriában

  • Egy adott pont rajta van-e egy ...
  • Szélsőérték számítási problémáknál (differenciálszámítással)

Fizikában

  • test szabadesése: másodfokú egyenlet
  • termodinamikai folyamatok leírásában
  • Kirchhoff törvény felírása során (áramerősséget számolunk)

Informatikában

  • Bármely elemző modellező programban.
  • Képszerkesztő alkalmazásokban
  • stb.

Legutóbb frissítve: 2016-02-17 17:18

Javaslatok

Megjegyzések

Hamarosan!

© 2015–2016 erettsegik.hu