TantárgyakMatematikaEmelt szintA hasonlóság fogalma és alkalmazásai ...
ProfilJegyzet beküldéseGYIKRólunk
Ez a jegyzet félkész. Kérjük, segíts kibővíteni egy javaslat beküldésével!

A hasonlóság fogalma és alkalmazásai háromszögekre vonatkozó tételek bizonyításában.

Középpontos hasonlósági transzformáció

adott egy O pont és egy \lambda 0-tól különböző valós szám. A tér minden P pontjához rendeljünk hozzá egy P' pontot a következőképpen:

  1. ha P = 0, akkor P' = P
  2. ha P \neq O, akkor P' az OP egyenes azon pontja, amelyre OP' = |\lambda| * OP és ha \lambda > 0, akkor P' az OP félegyenes pontja, ha \lambda < 0, akkor O elválasztja egymástól P-t és P'-t.

Az O pont a középpontos hasonlósági transzformáció középpontja, \lambda a középpontos hasonlóság aránya.

Ha |\lambda| > 1, akkor középpontos nagyításról, ha |\lambda| < 1, akkor kicsinyítésről beszélünk, ha pedig |\lambda| = 1, akkor a transzformáció egybevágóság.

Definíció: Két alakzatot hasonlónak nevezünk, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi. Jele: A ~ B.

Két háromszög akkor és csak akkor hasonló, ha:

  1. a megfelelő oldalaik hosszának aránya páronként egyenlő, azaz \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = \lambda
  2. két-két oldalhosszuk aránya és az ezek által közbezárt szögek nagysága egyenlő, azaz \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \lambda , és \gamma = \gamma'
  3. két-két oldalhosszuk aránya egyenlő, és e két-két oldal közül a hosszabbikkal szemközti szögük nagysága egyenlő
  4. két-két szögük páronként egyenlő

Tétel: Két sokszög akkor és csak akkor hasonló, ha megfelelő oldalhosszaik aránya és megfelelő szögeik nagysága páronként egyenlő nagyságú.

Sokszögek hasonlósága

ha szögeik megegyeznek és oldalaik aránya páronként megegyezik

bármely 2 kör hasonló egymáshoz

Példák lehetnek

  • szögfelező tétel: A háromszögben bármyely szögfelező a szemközti oldalt a szög melletti oldalak arányában osztja.
  • heron képlet bizonyítása
  • magasságtétel: Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság hossza az általa osztott átfogó két részének a mártani közepe. m = \sqrt{p*q}
  • befogótétel
  • Az előbbiek közül érdemes egyet bizonyítani ebben a tételben.

A hasonlóságot nem csak háromszögekre vonatkozó tételekre használjuk fel, pl:

  • szelőtétel
  • érintő tétel

Párhuzamos szelők tétele: Ha egy szög szárait párhuzamosokkal metsszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkező megfelelő szakaszok arányával.

Csongkakúp/Gúla térfogata

Szögfüggvények értelmezése is hasonlóságon alapul

Alkalmazások

  • optikai eszközök képalkotása
  • lejtőn lévő testre ható erők felbontása
  • hajítások
  • térképészet, távolságmérés, GPS
  • súlyvonalas bizonyítás, Euler egyenes, középvonal

Legutóbb frissítve: 2015-09-25 21:06

Javaslatok

Megjegyzések

Hamarosan!

© 2015–2016 erettsegik.hu