TantárgyakMatematikaEmelt szintBizonyítási módszerek és bemutatásuk ...
ProfilJegyzet beküldéseGYIKRólunk
Ez a jegyzet félkész. Kérjük, segíts kibővíteni egy javaslat beküldésével!

Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában.

Archimédesz kúpszeletekkel foglalkozik az ókorban.

Kör is, parabola is kúpszelet.

Kör: Adott ponttól adott távolságra lévő pontok halmaza.

Tétel: Az O(u; v) középpontú, r sugarú kör egyenlete (x-u)^2 + (y-v)^2 = r^2

Bizonyítás: A P(x; y) pont csak akkor van a körön, ha d_{cp} = r = \sqrt{(x-u)^2 + (y-v)^2} --> nem lehet negatív ezért ér négyzetre emelni. (x-u)^2 + (y-v)^2 = r^2

A kör kétismeretlenes másodfokú egyenlet:

x^2 + y^2 - 2ux - 2vy + u^2 + v^2 = 0, x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0

Kör és egyenes kölcsönös helyzete:

nincs közös pont, érinti, metszi

mehatározásuk egyenletrendszerből(másodfokúból) Az egyenlet diszkriminánsa határozza meg a közös pontok számát.

  • ha D > 0 az egyenletnek 2 db megoldása van, az egyenes metszi a kört
  • ha D = 0 az egyenletnek 1 db megoldása van, az egyenes érinti a kört
  • ha D < 0 az egyenletnek nincs megoldása, az egyenesnek nincs közös pontja a körrel.

Két kör közös pontjai:
az egyenletrendszer eredményeként egy egyenes kapunk.

Parabola: Azon pontok halmaza a síkban amelyek egyenlő távolságra vannak egy egyenestől és egy rá nem illeszkedő ponttól.

  • egyenes -> vezéregyenes, pont ->fokuszpont.

Tétel: Az F(0; p/2) fókuszpontú y = -p/2 vezéregyenesű parabola egyenlete y = \frac{1}{2*p} * x^2

Különböző állású parabolák:

y = \frac{1}{2*p} * (x - u)^2 + v

y = - \frac{1}{2*p} * (x - u)^2 + v

x = \frac{1}{2*p} * (y-v)^2 + u

x = - \frac{1}{2*p} * (y-v)^2 + u

Parabola és egyenes:

Érintő: olyan egyenes amely nem párhuzamos a parabola tengelyével és egy közös pontja van a parabolával.

  • Másodfokú egyenletrendszer érintőhöz: D = 0 kell, és az érintő iránytangenses felírása: y = m*x + b

  • A tengellyel párhuzamos parabola érintője deriválással is megkapható --> parabola egyenletének deriváltja: y' = m P pontban akkor y = m*x + b pontban is, és meg is van az érintő.

Másodfokú egynelőtlenség:

  • mérlegelv, grafikus megoldás

ax^2 + bx + c --> 1 gyök/ 2 gyök/ nincs m.o.

Grafikus megoldás

  • 1 gyök esetén: A parabola és egyenes egyenletrendszerénél azt jelenti, hogy az egyenes érinti a parabolát(vagy metszi).

  • 2 gyök esetén: A parabola és egyenes egyenletrendszerénél azt jelenti, hogy az egyenet két pontban metszi a parabolát.

  • Ha nincs megoldás: A parabola és az egyenes sosem találkozik a síkon.

Legutóbb frissítve: 2016-02-18 11:12

Javaslatok

Megjegyzések

Hamarosan!

© 2015–2016 erettsegik.hu