Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben.

A halmazelmélet a matematika egyik legfiatalabb ága. A 19. század óta foglalkozunk vele Georg Kantornak köszönhetően.

Alapfogalmak: halmaz, halmaz eleme.

Halmaz elemei bármik lehetnek, számok, tárgyak, emberek, adatok, stb. Legtöbbet a matematikában használjuk, melynek több területén is előfordulnak:

• függvénytanban
• kombinatorikában
• geometriában

Egy halmaz megadása történhet:

• felsorolással: A = {1; 2; 3; 4}
• tulajdonsággal: B = {négyszögek}; C = {pozitív egész számok 100-ig}
• képlettel: S = {x | x ϵ N, x < 1000}
• vagy egyéb módon

Komplementer halmaz: Egy A halmaz komplementer halmazának az alaphalmaz azon elemeinek halmazát nevezzük, amelyek az A halmaznak nem elemei. Jele: \overline{A}.

Egy halmazt akkor nevezünk egy másik részhalmazának, ha a halmaz összes eleme megtalálható a másikban is. Tehát ha A halmaznak részhalmaza B halmaz, akkor B halmaz minden eleme megtalálható A halmazban.

Halmaz részhalmazainak száma 2^n. Ez teljes indukcióval bizonyítható.

Két halmaz egyenlő, ha minden eleme egyenlő.

A 0 elemű halmazt üres halmaznak nevezzük, jele ø vagy {}

Halmazok közti műveletek

Unió: Két halmaz uniója azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmaznak elemei. Jele ⋃.

• kommutatív művelet: A ⋃ B = B ⋃ A
• asszociatív művelet: A ⋃ (B ⋃ C) = (A ⋃ B) ⋃ C = A ⋃ B ⋃ C

Metszet: Két halmaz metszete mindazon elemek halmaza, amelyek mindkét halmaznak elemei. Jele ⋂.

Diszjunkt halmaznak azt nevezzük, ha két halmaz metszete üres halmaz.

Disztributivitás: A ⋃ (B ⋂ C) = (A ⋃ B) ⋂ (A ⋃ C) ; A ⋂ (B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ C)

Két halmaz különbsége: Az A és B halmaz különbsége az A halmaz mindazon elemeinek halmaza, amelyek a B halmaznak nem elemei. Jele: A\B.

Szimmetrikus differencia: Az A és B halmaz szimmetrikus differenciája azon elemek halmaza, amelyek A és B halmaz közül pontosan az egyiknek elemei. (Tehát minden olyan elem, ami eleme vagy az A halmaznak vagy a B-nek. – kizáró vagy)

• A Δ C = (A\C) ⋃ (C\A)

Descartes-szorzat: Két halmaz Descartes szorzata olyan rendezett elempárok halmaza, ahol az első elem az első halmazból, a második elem a második halmazból származik.

Halmazok számossága

Egy véges halmaz számosságán elemeinek számát értjük. Jelölés: H halmaz számossága: |H|

Egy halmazt véges halmaznak nevezünk, ha nem létezik olyan valódi részhalmaza, amivel ugyanakkora a számossága (ekvivalens lenne). A nem véges halmazokat végtelennek nevezzük.

Két típusú végtelen lehet:

• megszámlálhatóan végtelen: alef zéró
• nem megszámlálhatóan végtelen: kontinuum számosság

Kontinuum-sejtés: Nem létezik olyan halmaz amelynek számossága az alef zéró és a kontinuum végtelen közé esik. Halmazelmélet ma létező legjobb axiómarendszere szerint a kontinuum sejtést sem bebizonyítani, sem megcáfolni nem lehet.

Pl: számhalmazok (ℕ, ℤ, ℝ, ℂ)

Nevezetes ponthalmazok síkban

Két adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza – egyenes

Egy egyenestől és egy rá nem illeszkedő ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza. – parabola

Parabola: Adott síkban egy pont és egy rá nem illeszkedő egyenes, és azoknak a pontoknak a halmazát a síkban, amelyek a ponttól és az egyenestől egyenlő távolságra vannak, parabolának nevezzük.

Három adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza:

• Háromszög oldalfelező merőlegesei → háromszög köré írható kör középpontja
  • Itt érdemes az előbbi tétel bizonyítását elmondani ha ezt választottad a tételhez.

Három egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza:

• Háromszög szögfelezői → háromszögbe írható kör középpontja
  • Itt érdemes az előbbi tétel bizonyítását elmondani ha ezt választottad a tételhez. → Cheva tételének megemlítése meglepő húzás lehet.

Ellipszis: adott síkban két egymásra nem illeszkedő pont és egy a távolságuknál nagyobb pozitív valós szám, azoknak a pontoknak a halmazát a síkban, amelyeknek a két ponttól mért távolságának az összege az adott szám, ellipszisnek nevezzük.

Hiperbola: adott a síkban két pont és egy a távolságuknál kisebb pozitív szám, azoknak a pontoknak a halmazát a síkban, amelyeknek a két ponttól mért távolságának a különbségének az abszolút értéke megegyezik az adott számmal, hiperbolának nevezzük.

Nevezetes ponthalmazok a térben

Gömb: Egy ponttól azonos távolságban lévő pontok halmaza a térben.

Paraboloid: Adott a térben egy pont és egy rá nem illeszkedő sík, és azoknak a pontoknak a halmazát a térben, amelyek a ponttól és a síktól egyenlő távolságra vannak, paraboloidnak nevezzük.

Ellipszoid: Adott a térben két egymásra nem illeszkedő pont és egy a távolságuknál nagyobb pozitív valós szám, azoknak a pontoknak a halmazát a térben, amelyeknek a két ponttól mért távolságának az összege az adott szám, ellipszoidnak nevezzük.

Hiperboloid: Adott a térben két pont és egy a távolságuknál kisebb pozitív valós szám, azoknak a pontoknak a halmazát a térben, amelyeknek a két ponttól mért távolságának a különbségének az abszolút értéke megegyezik az adott számmal, hiperboloidnak nevezzük.

Alkalmazások

Matematikai

• egyenlőtlenségek (törtes)
• metszetek (koordináta geometriában)
• függvények É.T., É.K.-ének megadásakor
• Descartes szorzat megjelenik a pont koordinátáinál térben

Fizikai

• Descartes: 3.;4.;5 dimenzióbeli alkalmazása (hőmérséklet, idő)
• Logikai áramkörök és/vagy kapcsolások
• számítógép működésének alapja
• nyelvészetben
• kódfejtés
• jogi érverlésnél: és/vagy (ahol matematikai, vagy hétköznapi „vagy”)

Megjegyzések

Hamarosan!