Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben.
A halmazelmélet a matematika egyik legfiatalabb ága. A 19. század óta foglalkozunk vele Georg Kantornak köszönhetően.
Alapfogalmak: halmaz, halmaz eleme.
Halmaz elemei bármik lehetnek, számok, tárgyak, emberek, adatok, stb. Legtöbbet a matematikában használjuk, melynek több területén is előfordulnak:
- függvénytanban
- kombinatorikában
- geometriában
Egy halmaz megadása történhet:
- felsorolással: A = {1; 2; 3; 4}
- tulajdonsággal: B = {négyszögek}; C = {pozitív egész számok 100-ig}
- képlettel: S = {x | x ϵ N, x < 1000}
- vagy egyéb módon
Komplementer halmaz: Egy A halmaz komplementer halmazának az alaphalmaz azon elemeinek halmazát nevezzük, amelyek az A halmaznak nem elemei. Jele: \overline{A}.
Egy halmazt akkor nevezünk egy másik részhalmazának, ha a halmaz összes eleme megtalálható a másikban is. Tehát ha A halmaznak részhalmaza B halmaz, akkor B halmaz minden eleme megtalálható A halmazban.
Halmaz részhalmazainak száma 2^n. Ez teljes indukcióval bizonyítható.
Két halmaz egyenlő, ha minden eleme egyenlő.
A 0 elemű halmazt üres halmaznak nevezzük, jele ø vagy {}
Halmazok közti műveletek
Unió: Két halmaz uniója azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmaznak elemei. Jele ⋃.
- kommutatív művelet: A ⋃ B = B ⋃ A
- asszociatív művelet: A ⋃ (B ⋃ C) = (A ⋃ B) ⋃ C = A ⋃ B ⋃ C
Metszet: Két halmaz metszete mindazon elemek halmaza, amelyek mindkét halmaznak elemei. Jele ⋂.
Diszjunkt halmaznak azt nevezzük, ha két halmaz metszete üres halmaz.
Disztributivitás: A ⋃ (B ⋂ C) = (A ⋃ B) ⋂ (A ⋃ C) ; A ⋂ (B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ C)
Két halmaz különbsége: Az A és B halmaz különbsége az A halmaz mindazon elemeinek halmaza, amelyek a B halmaznak nem elemei. Jele: A\B.
Szimmetrikus differencia: Az A és B halmaz szimmetrikus differenciája azon elemek halmaza, amelyek A és B halmaz közül pontosan az egyiknek elemei. (Tehát minden olyan elem, ami eleme vagy az A halmaznak vagy a B-nek. – kizáró vagy)
- A Δ C = (A\C) ⋃ (C\A)
Descartes-szorzat: Két halmaz Descartes szorzata olyan rendezett elempárok halmaza, ahol az első elem az első halmazból, a második elem a második halmazból származik.
Halmazok számossága
Egy véges halmaz számosságán elemeinek számát értjük. Jelölés: H halmaz számossága: |H|
Egy halmazt véges halmaznak nevezünk, ha nem létezik olyan valódi részhalmaza, amivel ugyanakkora a számossága (ekvivalens lenne). A nem véges halmazokat végtelennek nevezzük.
Két típusú végtelen lehet:
- megszámlálhatóan végtelen: alef zéró
- nem megszámlálhatóan végtelen: kontinuum számosság
Kontinuum-sejtés: Nem létezik olyan halmaz amelynek számossága az alef zéró és a kontinuum végtelen közé esik. Halmazelmélet ma létező legjobb axiómarendszere szerint a kontinuum sejtést sem bebizonyítani, sem megcáfolni nem lehet.
Pl: számhalmazok (ℕ, ℤ, ℝ, ℂ)
Nevezetes ponthalmazok síkban
Két adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza – egyenes
Egy egyenestől és egy rá nem illeszkedő ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza. – parabola
Parabola: Adott síkban egy pont és egy rá nem illeszkedő egyenes, és azoknak a pontoknak a halmazát a síkban, amelyek a ponttól és az egyenestől egyenlő távolságra vannak, parabolának nevezzük.
Három adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza:
- Háromszög oldalfelező merőlegesei → háromszög köré írható kör középpontja
- Itt érdemes az előbbi tétel bizonyítását elmondani ha ezt választottad a tételhez.
Három egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza:
- Háromszög szögfelezői → háromszögbe írható kör középpontja
- Itt érdemes az előbbi tétel bizonyítását elmondani ha ezt választottad a tételhez. → Cheva tételének megemlítése meglepő húzás lehet.
Ellipszis: adott síkban két egymásra nem illeszkedő pont és egy a távolságuknál nagyobb pozitív valós szám, azoknak a pontoknak a halmazát a síkban, amelyeknek a két ponttól mért távolságának az összege az adott szám, ellipszisnek nevezzük.
Hiperbola: adott a síkban két pont és egy a távolságuknál kisebb pozitív szám, azoknak a pontoknak a halmazát a síkban, amelyeknek a két ponttól mért távolságának a különbségének az abszolút értéke megegyezik az adott számmal, hiperbolának nevezzük.
Nevezetes ponthalmazok a térben
Gömb: Egy ponttól azonos távolságban lévő pontok halmaza a térben.
Paraboloid: Adott a térben egy pont és egy rá nem illeszkedő sík, és azoknak a pontoknak a halmazát a térben, amelyek a ponttól és a síktól egyenlő távolságra vannak, paraboloidnak nevezzük.
Ellipszoid: Adott a térben két egymásra nem illeszkedő pont és egy a távolságuknál nagyobb pozitív valós szám, azoknak a pontoknak a halmazát a térben, amelyeknek a két ponttól mért távolságának az összege az adott szám, ellipszoidnak nevezzük.
Hiperboloid: Adott a térben két pont és egy a távolságuknál kisebb pozitív valós szám, azoknak a pontoknak a halmazát a térben, amelyeknek a két ponttól mért távolságának a különbségének az abszolút értéke megegyezik az adott számmal, hiperboloidnak nevezzük.
Alkalmazások
Matematikai
- egyenlőtlenségek (törtes)
- metszetek (koordináta geometriában)
- függvények É.T., É.K.-ének megadásakor
- Descartes szorzat megjelenik a pont koordinátáinál térben
Fizikai
- Descartes: 3.;4.;5 dimenzióbeli alkalmazása (hőmérséklet, idő)
- Logikai áramkörök és/vagy kapcsolások
- számítógép működésének alapja
- nyelvészetben
- kódfejtés
- jogi érverlésnél: és/vagy (ahol matematikai, vagy hétköznapi „vagy”)
Legutóbb frissítve:2016-02-17 17:15
Megjegyzések
Hamarosan!