Valós számok halmaza és részhalmazai. Véges és végtelen halmazok számossága. Számelméleti alapfogalmak és tételek.

A valós számokat a természetes számoktól építjük fel.

Természetes számok halmaza

jele: ℕ

Definíció 1

A véges halmazok számosságát természetes számoknak nevezzük.

Definíció 2 (Peano-axiómák)

Az N halmazt a természetes számok halmazának nevezzük, ha teljesülnek rá:

1. 1 eleme ℕ-nek
2. n eleme ℕ-nek => n+ eleme ℕ-nek
3. nem létezik n eleme ℕ-nek : n+ = 1
4. bármely n,m eleme ℕ-nek : n+ = m+ => n=m
5. ℕ' részhalmaza ℕ-nek és ℕ'-ban igaz az első 3 axióma, akkor ℕ' = ℕ (teljes indukció)

• egyetlen TELJES axióma rendszer.

neutrális elem (a nulla) nem tartozik hozzá a peano axiómák szerint, bár elfogadott bizonyos körökben az is, ha hozzávesszük.

Műveletek a természetes számok halmazán

összeadás, szorzás (nincs inverzük)

Ha veszünk két diszjunkt(nincs metszetük) halmazt akkor azok számosságának összege egyenlő a két halmaz uniójának számosságával.

• ha A ⋂ B = 0 |A⋃B| = |A| + |B|

Ha veszünk két diszjunkt (nincs metszetük) halmazt akkor azok számosságának szorzata egyenlő a két halmaz descartes szorzatának számosságával. (descartes szorzat ld. halmazok)

• ha A ⋂ B = 0 |A×B| = |A| * |B|

0 → az összeadásra nézve neutrális elem

1 → a szorzásra nézve neutrális elem

Term. számok halmaza (ℕ) + 0 + negatív Term. számok (ℕ-) = az egész számok halmazával (ℤ)

Racionális számok halmaza

A szorzás invertálhatósága érdekében jöttek létre a racionális számok. → osztás

jele: ℚ

mindig elvégezhető: összeadás, kivonás, szorzás, osztás, hatványozás

Irracionális számok halmaza

A számok jelentős része nem írható fel két racionális szám hányadosaként, ezért tovább bővítjük a számok halmazát az irracionális számokra (ℚ*)

Tétel

Léteznek irracionális számok.

Bizonyítás

Tfh.: \sqrt{2} eleme ℚ-nak

\sqrt{2} = \frac{p}{q} | q \neq 0 p, q eleme ℤ-nek

\sqrt{2} * q = p

2*q^2 = p^2 (NINCS 2 olyan négyzetszám, hogy az egyik 2x-ese a másiknak)

| |

PÁROS = PÁROS

| |

tehát q is osztható 4-gyel ( q páros ) = p is páros, úgyhogy p2 osztható 4-gyel

bal oldal= 2 páratlan hatványa

jobb oldal = 2 páros hatványa

NEM IGAZ → tehát \sqrt{2} eleme ℚ*-nak

Nevezetes irracionális számok: e, \Pi, ...

Valós számok halmaza

A racionális számok és az irracionális számok halmazának uniója (ℚ⋃ℚ*=ℝ) egyenlő a valós számok halmazával
Bármely két racionális szám között van irracionális szám, és bármely két irracionális szám között is.
minden alapműveletre működik kivéve a negatívból való gyökvonást.

Komplex számok halmaza

Definíció

ℂ { a+b*i | a, b eleme R-nek, i=\sqrt{-1} }

( i = \sqrt{-1} – imaginiárius egység, tehát \sqrt{-20} = \sqrt{20} * \sqrt{-1}= \sqrt{20} * i )
a komplex számokat koordináta rendszerben ábrázoljuk, nem számegyenesen.

a+b*i, forma

0-val való osztás esetére a komplex számok bővíthetőek +\infty, -\infty - re

N \subseteq Z \subseteq Q \subseteq R \subseteq C

Halmazok számossága

Egy véges halmaz számosságán elemeinek számát értjük. Jelölés: H halmaz számossága:

Egy halmazt véges halmaznak nevezünk, ha nem létezik olyan valódi részhalmaza, amivel ugyanakkora a számossága (ekvivalens lenne). A nem véges halmazokat végtelennek nevezzük.

Két típusú végtelen lehet:

• megszámlálhatóan végtelen: alef zéró
• nem megszámlálhatóan végtelen: kontinuum számosság

Kontinuum-sejtés: Nem létezik olyan halmaz amelynek számossága az alef zéró és a kontinuum végtelen közé esik. Halmazelmélet ma létező legjobb axiómarendszere szerint a kontinuum sejtést sem bebizonyítani, sem megcáfolni nem lehet.

• pl számhalmazok. (ℕ, ℤ, ℝ, ℂ)

Átvezető a számelméletre

A végére szeretnék áttérni a Matematika számelmélet témakörére. Ez a témakör az amivel a legrégebb óta foglalkozik a matematika.
pitagoreusi iskola → számokkal foglalkoztak

pl.: barátságos számok, tökéletes számok

igazi alkalmazása ennek a területnek a 20. században alakult ki: kriptográfia

Oszthatósági szabályok:

1. Minden egész szám osztható 1-gyel.
2. Azok a számok oszthatók 2-vel, amelyeknek utolsó számjegye(egyes helyiértéken álló) osztható 2-vel.
3. Azok a számok oszthatók 3-mal, amelyeknek a számjegyeinek összege is osztható 3-mal.
4. Azok a számok oszthatók 4-gyel, amelyeknek az utolsó két számjegyéből képzett kétjegyű szám is osztható 4-gyel.
5. Azok a számok oszthatók 5-tel, amelyeknek utolsó számjegye is osztható 5-tel.
6. Azok a számok oszthatók 6-tal, amelyek 2-vel és 3-mal is oszthatóak.
7. 7-tel úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől utolsó előtti számjegyéig képzett számból kivonjuk az utolsó számjegy dupláját(2-szeresét).
   Ha az így kapott szám osztható 7-tel akkor az eredeti is. Ha még az így kapott számról sem tudjuk megállapítani, hogy osztható-e 7-tel, akkor ugyanezt a tendenciát kell folytatni amíg olyan számot nem kapunk amiről biztosan meg tudjuk állapítani, hogy osztható 7-tel.
   Pl.: 315 → 31-(2*5)=21. 21 osztható 7-tel, tehát 315 is.
8. Azok a számok oszthatók 8-cal, amelyeknek az utolsó három számjegyéből képzett háromjegyű szám is osztható 8-cal.
9. Azok a számok oszthatók 9-cel, amelyeknek számjegyeinek összege is osztható 9-cel.
10. Azok a számok oszthatók 10-zel, amelyeknek utolsó számjegye is osztható 10-zel, magyarul 0-ra végződik.
11. 11-gyel úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől utolsó előtti számjegyéig képzett számból kivonom az utolsó számjegyet. Ha az így kapott szám osztható 11-gyel, akkor az eredtei is. Ugyanúgy mint a 7-tel való oszthatóságnál itt is lehet ismételni ezt a folyamatot, ha még mindig megállapíthatatlan az oszhatóság.
    Pl.: 5258 → 525-8=517 → 51-7=44 44 osztható 11-gyel, tehát 5258 is.

Prímszámok definiálása: Azokat a természetes számokat, amelyeknek pontosan két osztójuk van, prímszámoknak nevezzük.

Számelmélet alaptétele: Bármely egész szám felírható véges sok prímszám szorzataként és az a felbontás a tényezők sorrendjétől eltekintve és az egység szorzót figyelmen kívül hagyva egyértelmű.

Fermat-sejtés később tétel:a^n+b^n=c^n ahol a,b,c,n \in Z , n>2 esetén nincs triviális megoldás

Számrendszerek: komolyabb algebrai fejlődéshez kell, plusz informatikában van nagy jelentősége,
hinduktól származtatjuk

Alkalmazások

• csekkeken a sorszám ellenőrzés
• kriptográfiában → szuperszámítógépek
• számrendszerek → info
• filozófia, számmisztika

Megjegyzések

Hamarosan!