Valós számok halmaza és részhalmazai. Véges és végtelen halmazok számossága. Számelméleti alapfogalmak és tételek.
A valós számokat a természetes számoktól építjük fel.
Természetes számok halmaza
jele: ℕ
Definíció 1
A véges halmazok számosságát természetes számoknak nevezzük.
Definíció 2 (Peano-axiómák)
Az N halmazt a természetes számok halmazának nevezzük, ha teljesülnek rá:
- 1 eleme ℕ-nek
- n eleme ℕ-nek => n+ eleme ℕ-nek
- nem létezik n eleme ℕ-nek : n+ = 1
- bármely n,m eleme ℕ-nek : n+ = m+ => n=m
- ℕ' részhalmaza ℕ-nek és ℕ'-ban igaz az első 3 axióma, akkor ℕ' = ℕ (teljes indukció)
- egyetlen TELJES axióma rendszer.
neutrális elem (a nulla) nem tartozik hozzá a peano axiómák szerint, bár elfogadott bizonyos körökben az is, ha hozzávesszük.
Műveletek a természetes számok halmazán
összeadás, szorzás (nincs inverzük)
Ha veszünk két diszjunkt(nincs metszetük) halmazt akkor azok számosságának összege egyenlő a két halmaz uniójának számosságával.
- ha A ⋂ B = 0 |A⋃B| = |A| + |B|
Ha veszünk két diszjunkt (nincs metszetük) halmazt akkor azok számosságának szorzata egyenlő a két halmaz descartes szorzatának számosságával. (descartes szorzat ld. halmazok)
- ha A ⋂ B = 0 |A×B| = |A| * |B|
0 → az összeadásra nézve neutrális elem
1 → a szorzásra nézve neutrális elem
Term. számok halmaza (ℕ) + 0 + negatív Term. számok (ℕ-) = az egész számok halmazával (ℤ)
Racionális számok halmaza
A szorzás invertálhatósága érdekében jöttek létre a racionális számok. → osztás
jele: ℚ
mindig elvégezhető: összeadás, kivonás, szorzás, osztás, hatványozás
Irracionális számok halmaza
A számok jelentős része nem írható fel két racionális szám hányadosaként, ezért tovább bővítjük a számok halmazát az irracionális számokra (ℚ*)
Tétel
Léteznek irracionális számok.
Bizonyítás
Tfh.: \sqrt{2} eleme ℚ-nak
\sqrt{2} = \frac{p}{q} | q \neq 0 p, q eleme ℤ-nek
\sqrt{2} * q = p
2*q^2 = p^2 (NINCS 2 olyan négyzetszám, hogy az egyik 2x-ese a másiknak)
| |
PÁROS = PÁROS
| |
tehát q is osztható 4-gyel ( q páros ) = p is páros, úgyhogy p2 osztható 4-gyel
bal oldal= 2 páratlan hatványa
jobb oldal = 2 páros hatványa
NEM IGAZ → tehát \sqrt{2} eleme ℚ*-nak
Nevezetes irracionális számok: e, \Pi, ...
Valós számok halmaza
A racionális számok és az irracionális számok halmazának uniója (ℚ⋃ℚ*=ℝ) egyenlő a valós számok halmazával
Bármely két racionális szám között van irracionális szám, és bármely két irracionális szám között is.
minden alapműveletre működik kivéve a negatívból való gyökvonást.
Komplex számok halmaza
Definíció
ℂ { a+b*i | a, b eleme R-nek, i=\sqrt{-1} }
( i = \sqrt{-1} – imaginiárius egység, tehát \sqrt{-20} = \sqrt{20} * \sqrt{-1}= \sqrt{20} * i )
a komplex számokat koordináta rendszerben ábrázoljuk, nem számegyenesen.
a+b*i, forma
0-val való osztás esetére a komplex számok bővíthetőek +\infty, -\infty - re
N \subseteq Z \subseteq Q \subseteq R \subseteq C
Halmazok számossága
Egy véges halmaz számosságán elemeinek számát értjük. Jelölés: H halmaz számossága:
Egy halmazt véges halmaznak nevezünk, ha nem létezik olyan valódi részhalmaza, amivel ugyanakkora a számossága (ekvivalens lenne). A nem véges halmazokat végtelennek nevezzük.
Két típusú végtelen lehet:
- megszámlálhatóan végtelen: alef zéró
- nem megszámlálhatóan végtelen: kontinuum számosság
Kontinuum-sejtés: Nem létezik olyan halmaz amelynek számossága az alef zéró és a kontinuum végtelen közé esik. Halmazelmélet ma létező legjobb axiómarendszere szerint a kontinuum sejtést sem bebizonyítani, sem megcáfolni nem lehet.
- pl számhalmazok. (ℕ, ℤ, ℝ, ℂ)
Átvezető a számelméletre
A végére szeretnék áttérni a Matematika számelmélet témakörére. Ez a témakör az amivel a legrégebb óta foglalkozik a matematika.
pitagoreusi iskola → számokkal foglalkoztak
pl.: barátságos számok, tökéletes számok
igazi alkalmazása ennek a területnek a 20. században alakult ki: kriptográfia
Oszthatósági szabályok:
- Minden egész szám osztható 1-gyel.
- Azok a számok oszthatók 2-vel, amelyeknek utolsó számjegye(egyes helyiértéken álló) osztható 2-vel.
- Azok a számok oszthatók 3-mal, amelyeknek a számjegyeinek összege is osztható 3-mal.
- Azok a számok oszthatók 4-gyel, amelyeknek az utolsó két számjegyéből képzett kétjegyű szám is osztható 4-gyel.
- Azok a számok oszthatók 5-tel, amelyeknek utolsó számjegye is osztható 5-tel.
- Azok a számok oszthatók 6-tal, amelyek 2-vel és 3-mal is oszthatóak.
- 7-tel úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől utolsó előtti számjegyéig képzett számból kivonjuk az utolsó számjegy dupláját(2-szeresét).
Ha az így kapott szám osztható 7-tel akkor az eredeti is. Ha még az így kapott számról sem tudjuk megállapítani, hogy osztható-e 7-tel, akkor ugyanezt a tendenciát kell folytatni amíg olyan számot nem kapunk amiről biztosan meg tudjuk állapítani, hogy osztható 7-tel.
Pl.: 315 → 31-(2*5)=21. 21 osztható 7-tel, tehát 315 is. - Azok a számok oszthatók 8-cal, amelyeknek az utolsó három számjegyéből képzett háromjegyű szám is osztható 8-cal.
- Azok a számok oszthatók 9-cel, amelyeknek számjegyeinek összege is osztható 9-cel.
- Azok a számok oszthatók 10-zel, amelyeknek utolsó számjegye is osztható 10-zel, magyarul 0-ra végződik.
- 11-gyel úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől utolsó előtti számjegyéig képzett számból kivonom az utolsó számjegyet. Ha az így kapott szám osztható 11-gyel, akkor az eredtei is. Ugyanúgy mint a 7-tel való oszthatóságnál itt is lehet ismételni ezt a folyamatot, ha még mindig megállapíthatatlan az oszhatóság.
Pl.: 5258 → 525-8=517 → 51-7=44 44 osztható 11-gyel, tehát 5258 is.
Prímszámok definiálása: Azokat a természetes számokat, amelyeknek pontosan két osztójuk van, prímszámoknak nevezzük.
Számelmélet alaptétele: Bármely egész szám felírható véges sok prímszám szorzataként és az a felbontás a tényezők sorrendjétől eltekintve és az egység szorzót figyelmen kívül hagyva egyértelmű.
Fermat-sejtés később tétel:a^n+b^n=c^n ahol a,b,c,n \in Z , n>2 esetén nincs triviális megoldás
Számrendszerek: komolyabb algebrai fejlődéshez kell, plusz informatikában van nagy jelentősége,
hinduktól származtatjuk
Alkalmazások
- csekkeken a sorszám ellenőrzés
- kriptográfiában → szuperszámítógépek
- számrendszerek → info
- filozófia, számmisztika
Legutóbb frissítve:2016-02-17 17:16
Megjegyzések
Hamarosan!