Számsorozatok és tulajdonságaik (korlátosság, monotonitás, konvergencia). Nevezetes számsorozatok, végtelen mértani sor.

Számsorozatokkal már az ókori görögök is foglalkoztak. Ismerték a számtani sorozat összegzésének módját, az első n négyzetszám összegének a kiszámítását. A sorozatok vizsgálata vezetett el később a differenciál- és integrálszámításhoz.

Számsorozat definíció: A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya pozitív egész számok halmaza, értékkészlete pedig valamilyen számhalmaz.

Monotonitás: Az {a_n} sorozat szigorúan monoton növekvő (csökkenő), ha minden pozitív egész n-re teljesül, hogy a_n < a_{n+1} (a_n>a_{n+1}) . Sima monotonitás esetén az egyenlőség is megengedett.

Monoton sorozat határesete a konstans sorozat

Korlátosság: Egy {a_n} sorozatnak K felső (alsó) korlátja, ha minden pozitív egész n-re teljesül, hogy a_n \leq K(k \leq a_n) Ilyenkor a sorozat felülről (alulról) korlátos. Egy sorozatot korlátosnak nevezünk, ha alulról és felülről is korlátos.

Konvergencia: Az {a_n} sorozat konvergens és határértéke az A szám, ha minden pozitív \epsilon számhoz létezik olyan N pozitív egész, hogy a sorozat a_N utáni tagjai mind az A szám \epsilon sugarú környezetébe esnek, vagyis minden pozitív \epsilon számhoz létezik olyan N pozitív egész, hogy minden n > N esetén |a_n - A| < \epsilon . Jelölése: \lim_{x \to \infty} a_n = A .

A nem konvergens sorozatokat divergensnek nevezzük.

Tétel: Felülről korlátos szigorúan monoton növekvő sorozat konvergens.

Torlódási pont: Az a pont amelynek bármely környezete tartalmaz sorozatbeli pontot.

Sorozatok közti műveletek

• < a_n > \pm < b_n > = < a_n+b_n >
• c \in ℝ , c * < a_n > = < c * a_n >
• < a_n > * < b_n > = < a_n * b_n >
• b_n \neq 0 , \frac{< a_n >}{< b_n >} = < \frac{a_n}{b_n} >

Nevezetes számsorozatok

Számtani sorozat

• n-edik elem: a_n=a_1+(n - 1) * d
• első n tag összege: S_n = \frac{a_1 * n + a_n}{2}
• Az első n tag összegtételének bizonyítása itt jó választás lehet.

Mértani sorozat

• n-edik elem: a_n=a_1*q^{n-1}
• első n tag összege: S_n = \frac{a_1 * q^n - 1}{q - 1} , q \neq 1
• Az első n tag összegtételének bizonyítása itt jó választás lehet.

Fibonacci sorozat

• Az első két elem 0 és 1, az összes további elem az előtte lévő kettő összege.
  Képletként:
  f(n) = 0 , \text{ha } n = 0
  f(n) = 1 , \text{ha } n = 1
  f(n) = F_{n-1} + F_{n-2} , \text{ha } n \geq 0

Fibonacci a nyuszik szaporodásának problémájától jutott el a sorozatig.

Tétel: A Fibonacci sorozat minden 3. eleme páros.

Tétel: Fibonacci sorozat minden 4. eleme osztható 3-al.

Tétel: A Fibonacci sorozat bármely két szomszédos tagja relatív prím

\frac{f_n}{f_m} = \frac{n}{m} , a tagok akkor osztják egymást, ha sorszámaik is

Tétel: Számpárainak a hányadosa az aranymetszés irracionális számához konvergál

Tétel: két Fibonacci típusú sorozat összege és különbsége is fibonacci típusú

• A fenti tételek egyikét érdemes ebből az anyagrészbő bizonyítani

itt érdemes megemlíteni a következő rekurzív sorozatot: (1 + \frac{1}{n})^n aminek a határértéke egy irracionális szám az e.
\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = e

• a sorozat tul.: szigorúan monoton növekvő, és felülről korlátos

Sorok:

< a_n >

S_1= a_1

S_2= a_1 + a_2

S_n = \sum_{i = 1}^n a_i

< S_n > : sor a részletösszegek sorozata

• ha < S_n > sorozat konvergens akkor a határértékét a sor összegének nevezzük
  \sum_{i = 1}^n a_i = \lim_{n \to \infty} S_n = S

Mértani sor összege: S = \frac{a_1}{q - 1}

Zenon: Akhilleusz és a teknősbéka versenye, a köztük lévő távolság feleződik, ezért Akhilleusz nem nyerhet mivel előnyt adott a teknősnek, megoldás a sorok.

Sorok közti műveletek

\sum(a_n \pm b_n) = \sum a_n \pm \sum b_n
\sum(a_n * b_n) = \sum a_n * \sum b_n
\sum\frac{a_n}{b_n} = \frac{\sum a_n}{\sum b_n}

Alkalmazások

• Mértani sorozat: kamatos kamat
• Fibonacci sorozat: természet/művészet + kapocs aranymetszéshez(építészet, fényképészet, zene)
• Sorok: Zenon agóriák
• prímszámok reciprokai

Megjegyzések

Hamarosan!