Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás és alkalmazásai.

Függvény definíciója: f A->B: ha A minden eleméhez rendelünk B-beli ...elemet, és csak 1 elemet.

A(D): értelmezési tartomány

B(R): értékkészlet

Függvénytulajdonságok (parasztnyelven)

1. Értelmezési tartomány: Az x tengelyen felvehető értékei a függvénynek.
2. Értékkészlet: Az y tengelyen felvehető értékei a függvénynek.
3. Zérushely: Ahol a függvény felveszi az y = 0 értéket, azaz metszi az x tengelyt.
4. Szélsőérték: A függvény értékeinek lokális vagy globális maximuma/minimuma.
5. Monotonitás:
   • Növekvő:
     • bármely x_1 \leq x_2 érték esetén az f(x_1) \leq f(x_2).
     • Szigorúan monoton növekvő: bármely x_1 < x_2 érték esetén az f(x_1) < f(x_2) .
   • Csökkenő:
     • bármely x_1 \geq x_2 érték esetén az f(x_1) \geq f(x_2).
     • Szigorúan monoton növekvő: bármely x_1 > x_2 érték esetén az f(x_1) > f(x_2) .
6. Periodicitás: A függvény felvesz bizonyos értékeket melyek egyenlő időközönként ismétlődnek.
7. Korlátosság: Van olyan valós szám melyet a függvény értéke nem lép át.
8. Konvexitás: Ha megáll benne a víz konvex, máskülönben konkáv.
9. Inflexióspont: Ahol a függvény konvexből konkávba vált, vagy fordítva.
10. Paritás:
    • Páros: f(x) = f(-x)
    • Páratlan: f(-x) = -f(x)
11. Folytonosság: A függvénynek lehet két féle első fajú-, és másodfajú szakadása. Elsőfajú az a szakadás ami az y tengely nézőpontjából számít szakadásnak, minden más szakadás másodfajú.
12. Asszimptota: Olyan egyenes melyet a függvény tetszőlegesen megközelít de el sosem ér.
13. Differenciálhatóság: A függvényt egy pontjában akkor nevezünk differenciálhatónak ha ott jól közelíthatő lineáris függvénnyel.
14. Integrálhatóság

Lokálisan értelmezzük a függvény: szélső értékét, monotonitását, konvexitását

Differenciálszámítás, és alkalmazása

Függvényvizsgálatban, szélsőérték és monotonitás meghatározásához.

• mikor van maximuma, minimuma egy függvénynek
• mikor konvex, konkáv
• monotonitás

Alkalmazások

• közlekedés
• vízből kimentés esete Fermat-elv
  • fénytörés
• közgazdasági számítások
• Informatikai alkalmazások: képszerkesztők stb.

Megjegyzések

Hamarosan!