Derékszögű háromszögek. A hegyesszögek szögfüggvényei. A szögfüggvények általánosítása.
A tételt ajánlott egy nyitómondattal kezdeni, Pl.:
- Már az ókor óta foglalkozik az emberiség derékszögű háromszögekkel, talán régebb óta is. Először Euklidesz elemek című munkájában jelent meg írásosan.
Háromszögek fajtái
- Egy háromszög hegyesszögű, ha minden szöge hegyesszög.
- Egy háromszög derékszögű, ha van egy 90°-os szöge.
- Egy háromszög tompaszögű, ha van egy tompaszöge.
- Egy háromszög szabályos, ha három oldala egyenlő hosszú.
- Egy háromszög egyenlő szárú, ha van két oldala egyenlő hosszú.
Pitagorasz tétel
Ha egy háromszög derékszögű, akkor befogóinak négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével. (a^2 + b^2 = c^2)
- A cosinus tétel speciális esete
- Elsőként az egyiptomiak használták
- Először a hinduk bizonyították
- Nevét azért kapta később Pitagoraszról, mert új módszerrel bizonyította
- A tétel megfordítható → indirekten bizonyítható
- Itt érdemes lehet elmondani Pitagorasz tételének bizonyítását
Thalesz tétel
Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk.
- megfordítható
- a kerületi és központi szögek egy speciális esetének a következménye
Befogótétel
Derékszögű háromszögben az átfogó hosszának és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének hosszának mértani közepe megegyezik a befogó hosszával.
Magasságtétel
Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság hossza a mértani közepe azon két szakasz hosszának, amelyekre a magasság az átfogót osztja.
Szögfüggvények derékszögű háromszögekre leszűkítve
A hegyesszögek szögfüggvényeit derékszögű háromszögekkel is bevezethetjük. Kihasználjuk, hogy a két derékszögű háromszög hasonló, ha hegyesszögeik páronként megegyeznek. A hasonlóság következtében egy derékszögű háromszög oldalainak arányát a háromszög egyik hegyesszöge egyértelműen meghatározza. Erre a függvényszerű kapcsolatra vezetjük be a szögfüggvényeket.
- \sin\alpha= a szemközti befogó hosszának és az átfogó hosszának hányadosával.
\sin\alpha = \frac{a}{c} - \cos\alpha= a szög melletti befogó hosszának és az átfogó hosszának hányadosával.
\cos\alpha = \frac{b}{c} - \tan\alpha= a szöggel szemközti befogó hosszának és a szög melletti befogó hosszának hányadosával.
\tan\alpha = \frac{a}{b} - \cot\alpha= a szög melletti befogó hosszának és a szöggel szemközti befogó hosszának hányadosával.
\cot\alpha = \frac{b}{a}
Trigonometrikus pitagorasz tétel
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
A szögfüggvények és általánosításuk
A szögfügvények 300-400 éves múltra tekintenek vissza, bár a gyakorlatban régebb óta használják őket (használták őket pl. a Föld kerületének a megállapításához).
Szögfüggvények
i és j az x, y tengelyen egymással 90°-os szöget bezáró egységvektorok. v_1 és v_2 a v egységvektor x és y komponense.
\overline{v} = \overline{v_1} + \overline{v_2} = \overline{v_1} * \overline{i} + \overline{v_2} * \overline{j} = \cos \alpha * \overline{i} + \sin \alpha * \overline{j}
- 1 \leq \cos \alpha \leq 1
- 1 \leq \sin \alpha \leq 1
v_{1}^{2} + v_{2}^{^2} = v^2
\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1
Definíció: Az alfa szög koszinuszának nevezzük annak az egységnyi hosszúságú vektornak az első koordinátáját, mely az i bázisvektorral alfa szöget zár be.
Definíció: Az alfa szög szinuszának nevezzük annak az egységnyi hosszú vektornak a második koordinátáját, amely az i bázisvektorral alfa szöget zár be.
Alkalmazások
- ókori építészet
- Pitagoraszi számhármasok
- számelméleti megoldások
- Fermat tételhez
- külső pontból érintő szerkesztéséhez
- közös külső/belső érintők
- két szakasz mértani közepének megszerkesztéséhez
- \sqrt{a} szakasz hosszúságának megszerkesztése
- szögfüggvények:
- térképészet
- távolságmérés
- GPS
- lejtőn lévő testre ható erők
- hajítások fizikai leírásához
- lejtőn lévő testekre ható erők felbontásához
- háromszögek
- függvények
Fizikai
- rezgések, hullámok (harmonikus rezgőmozgás)
- Fourier-tétel: Bármely periodikus függvény előállítható véges sok szinuszos függvényből.
- hangtechnológia, hangfelvétel felbontása, háttérzaj elemzés → Fourier-analízis
- váltóáram
- Snellius-Descartes-féle törési törvény
- ferde hajítások
Legutóbb frissítve:2016-02-17 17:21
Megjegyzések
Hamarosan!