Derékszögű háromszögek. A hegyesszögek szögfüggvényei. A szögfüggvények általánosítása.

A tételt ajánlott egy nyitómondattal kezdeni, Pl.:

• Már az ókor óta foglalkozik az emberiség derékszögű háromszögekkel, talán régebb óta is. Először Euklidesz elemek című munkájában jelent meg írásosan.

Háromszögek fajtái

• Egy háromszög hegyesszögű, ha minden szöge hegyesszög.
• Egy háromszög derékszögű, ha van egy 90°-os szöge.
• Egy háromszög tompaszögű, ha van egy tompaszöge.
• Egy háromszög szabályos, ha három oldala egyenlő hosszú.
• Egy háromszög egyenlő szárú, ha van két oldala egyenlő hosszú.

Pitagorasz tétel

Ha egy háromszög derékszögű, akkor befogóinak négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével. (a^2 + b^2 = c^2)

• A cosinus tétel speciális esete
• Elsőként az egyiptomiak használták
• Először a hinduk bizonyították
• Nevét azért kapta később Pitagoraszról, mert új módszerrel bizonyította
• A tétel megfordítható → indirekten bizonyítható
• Itt érdemes lehet elmondani Pitagorasz tételének bizonyítását

Thalesz tétel

Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk.

• megfordítható
• a kerületi és központi szögek egy speciális esetének a következménye

Befogótétel

Derékszögű háromszögben az átfogó hosszának és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének hosszának mértani közepe megegyezik a befogó hosszával.

Magasságtétel

Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság hossza a mértani közepe azon két szakasz hosszának, amelyekre a magasság az átfogót osztja.

Szögfüggvények derékszögű háromszögekre leszűkítve

A hegyesszögek szögfüggvényeit derékszögű háromszögekkel is bevezethetjük. Kihasználjuk, hogy a két derékszögű háromszög hasonló, ha hegyesszögeik páronként megegyeznek. A hasonlóság következtében egy derékszögű háromszög oldalainak arányát a háromszög egyik hegyesszöge egyértelműen meghatározza. Erre a függvényszerű kapcsolatra vezetjük be a szögfüggvényeket.

• \sin\alpha= a szemközti befogó hosszának és az átfogó hosszának hányadosával.
  \sin\alpha = \frac{a}{c}
• \cos\alpha= a szög melletti befogó hosszának és az átfogó hosszának hányadosával.
  \cos\alpha = \frac{b}{c}
• \tan\alpha= a szöggel szemközti befogó hosszának és a szög melletti befogó hosszának hányadosával.
  \tan\alpha = \frac{a}{b}
• \cot\alpha= a szög melletti befogó hosszának és a szöggel szemközti befogó hosszának hányadosával.
  \cot\alpha = \frac{b}{a}

Trigonometrikus pitagorasz tétel

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

A szögfüggvények és általánosításuk

A szögfügvények 300-400 éves múltra tekintenek vissza, bár a gyakorlatban régebb óta használják őket (használták őket pl. a Föld kerületének a megállapításához).

Szögfüggvények

i és j az x, y tengelyen egymással 90°-os szöget bezáró egységvektorok. v_1 és v_2 a v egységvektor x és y komponense.

\overline{v} = \overline{v_1} + \overline{v_2} = \overline{v_1} * \overline{i} + \overline{v_2} * \overline{j} = \cos \alpha * \overline{i} + \sin \alpha * \overline{j}
- 1 \leq \cos \alpha \leq 1
- 1 \leq \sin \alpha \leq 1
v_{1}^{2} + v_{2}^{^2} = v^2
\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1

Definíció: Az alfa szög koszinuszának nevezzük annak az egységnyi hosszúságú vektornak az első koordinátáját, mely az i bázisvektorral alfa szöget zár be.

Definíció: Az alfa szög szinuszának nevezzük annak az egységnyi hosszú vektornak a második koordinátáját, amely az i bázisvektorral alfa szöget zár be.

Alkalmazások

• ókori építészet
• Pitagoraszi számhármasok
• számelméleti megoldások
• Fermat tételhez
• külső pontból érintő szerkesztéséhez
• közös külső/belső érintők
• két szakasz mértani közepének megszerkesztéséhez
• \sqrt{a} szakasz hosszúságának megszerkesztése
• szögfüggvények:
  • térképészet
  • távolságmérés
  • GPS
  • lejtőn lévő testre ható erők
  • hajítások fizikai leírásához
  • lejtőn lévő testekre ható erők felbontásához
    • háromszögek
    • függvények

Fizikai

• rezgések, hullámok (harmonikus rezgőmozgás)
• Fourier-tétel: Bármely periodikus függvény előállítható véges sok szinuszos függvényből.
  • hangtechnológia, hangfelvétel felbontása, háttérzaj elemzés → Fourier-analízis
• váltóáram
• Snellius-Descartes-féle törési törvény
• ferde hajítások

Megjegyzések

Hamarosan!