Háromszögek nevezetes vonalai, pontjai és körei.

Ajánlott kezdőmondattal nyitni a tételt, Pl.:

• Amit el fogok mondani Euklidesz elemek című munkája nagyrészt tartalmazza, de még sokan hozzájárultak. Pl.: Napoleon, Euler, Feuerbach.

Magasságvonal: Egyik csúcsból a szemközti oldalra állított merőleges egyenes.

Tétel: A háromszög három magasságvonala egy pontban metszi egymást, ezt nevezzük magasságpontnak.

Oldalfelező merőleges: A háromszög egyik oldalának felezőpontján áthaladó, az oldalra merőleges egyenes.

Tétel: A háromszög három oldalfelező merőlegese egy pontban metszi egymást. Ez a háromszög köré írható körének a középpontja (amely áthalad a háromszög összes csúcsán).

Szögfelező: A háromszög valamely szögét két egyenlő, fele akkora szögre bontó egyenes.

Tétel: A háromszög három szögfelezője egy pontban metszi egymást, ez a háromszög beírható körének a középpontja (amely érinti a háromszög összes oldalát).

Tétel: A háromszög egy belső, és a másik két csúcshoz tartozó külső szögfelezője egy pontban metszi egymást, ez a pont a háromszög hozzáírt körének középpontja. A háromszögnek 3 hozzáírt köre van.

Tétel: A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak hosszának arányában osztja két részre.

Súlyvonal: A háromszög egy csúcsát a szemközti oldal oldalfelező pontjával összekötő egyenes.

Tétel: A háromszög három súlyvonala egy pontban metszi egymást. Ez a súlypont.

• A súlyvonalak harmadolják egymást
• A háromszög súlyvonala felezi a háromszög területét

Középvonal: A háromszög két oldalfelező pontját összekötő szakasz.

Tétel: A háromszög bármely középvonala párhuzamos a nem érintett oldallal, és fele olyan hosszú.

Euler-egyenes: A háromszög magasságpontja, súlypontja és a köré írható körének középpontja egy egyenesen vannak, és a súlypont mindig harmadolja az MK szakaszt (K-hoz van közelebb az S).

Szimedián-egyenes: Ha a súlyvonalat a szögfelezőre tükrözzük, akkor kapjuk meg a háromszög szimedián-egyenesét.

Tétel: A háromszög három szimedián-egyenese egy pontban metszi egymást.

Feuerbach kör: kilencponti kör

• A háromszög három oldalfelező pontja, a magasságpontjainak talppontjai, illetve a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai mind egy körön helyezkedik el, ezt a kört nevezzük a Feuerbach körnek.
• Középpontja az Euler-egyenesen van és felezi az MK szakaszt

Alkalmazások

• kiegyensúlyozás
• formatervezés
• kertépítészet

Megjegyzések

Hamarosan!