Húrnégyszögek, érintőnégyszögek, szimmetrikus négyszögek.

Húrnégyszög

Definíció: Azokat a négyszögeket, amelyeknek van köré írható körük, húrnégyszögeknek nevezzük. Ezzel ekvivalens: a húrnégyszög olyan négyszög, amelynek oldalai ugyanannak a körnek a húrjai.

Tétel: Ha egy négyszög húrnégyszög, akkor a szemközti szögeinek összege 180°.

Tétel: A nevezetes négyszögek közül biztosan húrnégyszög a szimmetrikus trapéz (húrtrapéz), a téglalap és a négyzet.

Tétel: A paralelogramma akkor és csak akkor húrnégyszög, ha téglalap.

Tétel: A húrnégyszögek területe kifejezhető a négyszög kerületével és az oldalakkal: Ha s = \frac{k}{2} , akkor T = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}. Ez a Heron-képlet húrnégyszögekre.

Érintőnégyszög

Definíció: Azokat a négyszögeket, amelyeknek van beírt körük, érintőnégyszögeknek nevezzük. Ezzel ekvivalens: az érintő négyszög olyan négyszög, amelynek az oldalai ugyanannak a körnek érintői.

Érintőnégyszög tétel: Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha szemközti oldalainak összege egyenlő.

Tétel: A nevezetes négyszögek közül biztosan érintőnégyszög a deltoid, így a rombusz és a négyzet.

Tétel: A paralelogramma akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha rombusz.

Tétel: Érintőnégyszög területe kifejezhető a négyszög kerületével, és a beírt kör sugarával: T = s * r .

A bicentrikus négyszögek azok amik egyszerre húrnégyszögek és érintőnégyszögek is.

Brahmagupta négyszögek azok amiknek az átlói merőlegesek egymásra.

Szimmetria

Definíció: Egy négyszög tengelyesen szimmetrikus, ha van olyan síkbeli tengelyes tükrözés, melynek az adott négyszög invariáns alakzata: E tükrözés tengelyét a négyszög szimmetriatengelyének nevezzük.

Csoportosításuk

A tengelyek száma szerint

• egy szimmetriatengely: húrtrapéz, deltoid
• két szimmetriatengely: téglalap, rombusz
• négy szimmetriatengely: négyzet

A tengely minősége szerint

• valamelyik oldalfelező tengely merőleges tengely: húrtrapéz, téglalap, négyzet
• valamelyik átló a tengely: deltoid, rombusz, négyzet

Definíció: Egy négyszög középpontosan szimmetrikus, ha van olyan középpontos tükrözés, amelynek az adott négyszög invariáns alakzata. E tükrözés középpontját a négyszög szimmetria-középpontjának nevezzük.

• Középpontosan szimmetrikus négyszög a paralelogramma, rombusz, téglalap, négyzet.

Varignan-tétel: Bármely négyszög oldalfelezői által meghatározott négyszög paralelogramma és a területe az eredeti négyszög területének a fele.

Alkalmazások

• mozaikok, csempék, építészet
• paralelogramma módszer
• kristály fizika

Megjegyzések

Hamarosan!