Húrnégyszögek, érintőnégyszögek, szimmetrikus négyszögek.
Húrnégyszög
Definíció: Azokat a négyszögeket, amelyeknek van köré írható körük, húrnégyszögeknek nevezzük. Ezzel ekvivalens: a húrnégyszög olyan négyszög, amelynek oldalai ugyanannak a körnek a húrjai.
Tétel: Ha egy négyszög húrnégyszög, akkor a szemközti szögeinek összege 180°.
Tétel: A nevezetes négyszögek közül biztosan húrnégyszög a szimmetrikus trapéz (húrtrapéz), a téglalap és a négyzet.
Tétel: A paralelogramma akkor és csak akkor húrnégyszög, ha téglalap.
Tétel: A húrnégyszögek területe kifejezhető a négyszög kerületével és az oldalakkal: Ha s = \frac{k}{2} , akkor T = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}. Ez a Heron-képlet húrnégyszögekre.
Érintőnégyszög
Definíció: Azokat a négyszögeket, amelyeknek van beírt körük, érintőnégyszögeknek nevezzük. Ezzel ekvivalens: az érintő négyszög olyan négyszög, amelynek az oldalai ugyanannak a körnek érintői.
Érintőnégyszög tétel: Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha szemközti oldalainak összege egyenlő.
Tétel: A nevezetes négyszögek közül biztosan érintőnégyszög a deltoid, így a rombusz és a négyzet.
Tétel: A paralelogramma akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha rombusz.
Tétel: Érintőnégyszög területe kifejezhető a négyszög kerületével, és a beírt kör sugarával: T = s * r .
A bicentrikus négyszögek azok amik egyszerre húrnégyszögek és érintőnégyszögek is.
Brahmagupta négyszögek azok amiknek az átlói merőlegesek egymásra.
Szimmetria
Definíció: Egy négyszög tengelyesen szimmetrikus, ha van olyan síkbeli tengelyes tükrözés, melynek az adott négyszög invariáns alakzata: E tükrözés tengelyét a négyszög szimmetriatengelyének nevezzük.
Csoportosításuk
A tengelyek száma szerint
- egy szimmetriatengely: húrtrapéz, deltoid
- két szimmetriatengely: téglalap, rombusz
- négy szimmetriatengely: négyzet
A tengely minősége szerint
- valamelyik oldalfelező tengely merőleges tengely: húrtrapéz, téglalap, négyzet
- valamelyik átló a tengely: deltoid, rombusz, négyzet
Definíció: Egy négyszög középpontosan szimmetrikus, ha van olyan középpontos tükrözés, amelynek az adott négyszög invariáns alakzata. E tükrözés középpontját a négyszög szimmetria-középpontjának nevezzük.
- Középpontosan szimmetrikus négyszög a paralelogramma, rombusz, téglalap, négyzet.
Varignan-tétel: Bármely négyszög oldalfelezői által meghatározott négyszög paralelogramma és a területe az eredeti négyszög területének a fele.
Alkalmazások
- mozaikok, csempék, építészet
- paralelogramma módszer
- kristály fizika
Legutóbb frissítve:2015-09-27 23:09
Megjegyzések
Hamarosan!