Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek.
A 19. században Felix Klein meghirdette az Erlangeni programban a geometriai transzformációk segítségével való felépítését az elemi geometriának.
Transzformációk
Definíció: Geometriai transzformációk azok a függvények, amelyek egy ponthalmazt ponthalmazra képeznek le.
Definíció: A geometriai transzformációk közül a távolságtartó transzformációkat egybevágósági transzformációknak nevezzük.
Távolságtartó leképezés: bármely két pont távolsága egyenlő képeik távolságával
Síkbeli egybevágósági transzformációk: tengelyes tükrözés, pontra vonatkozó tükrözés, pont körüli elforgatás, eltolás.
Közös tulajdonságok
- Kölcsönösen egyértelmű (egy pontnak egy képpont felel meg és fordítva).
- Szögtartó (minden szög egyenlő nagyságú a képével).
Tétel: Bármely egybevágóság összetehető a 3 transzformáció összegéből.
Egybevágóság
Két síkidom egybevágó, ha létezik olyan egybevágósági transzformáció, amellyel fedésbe lehet őket hozni.
- Két háromszög egybevágó ha:
- oldalai páronként egyenlők
- egy oldal és a hozzátartozó két szög megegyezik
- két oldal és a közbezárt szög megegyezik
- két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög megegyezik
- Két sokszög egybevágó ha:
- oldalaik páronként, egy szögei páronként megegyeznek (négyzet, rombusz)
Sokszögek tulajdonságai
Definíció: Egy sokszög konvex, ha bármely két belső pontját összekötő szakasz minden pontja a sokszögön belül van.
Tétel: Egy n oldalú konvex sokszög átlóinak a száma \frac{n * (n - 3)}{2}.
- Bizonyítás!
Tétel: Egy n oldalú konvex sokszög külső szögeinek összege 360°.
- Bizonyítás!
Szabályos sokszögek
- n oldalú szabályos sokszögnek n db szimmetriatengelye van. Ha n páros, akkor a tengelyek egyik fele a szemközti csúcsokra illeszkedik, másik fele a szemközti oldalak felezőmerőlegese. Ha n páratlan, akkor a tengelyek a csúcsokat az átellenes oldal felezőpontjával kötik össze
- Szabályos sokszögek euklideszi módon szerkeszthetőek, ha n egy 2 hatvány és különböző Fermat-prímek szorzata
- Gauss a szabályos 17 szöget kérte a sírkövére máig nem kapta meg
Szimmetria tulajdonságai
Tengelyes tükrözés
Definíció: Adott a sík egy t egyenese, ez a tengelyes tükrözés tengelye. A t tengelyre vonatkozó tengelyes tükrözés a sík tetszőleges t-re nem illeszkedő P pontjához azt a P’ pontot rendeli, amelyre fennáll, hogy PP’ szakasz felezőmerőlegese a t tengely. A t egyenes képe önmaga.
- Definíció: Ha egy ponthalmazhoz található olyan t egyenes, amelyre vonatkozó tükörképe önmaga, akkor ez a ponthalmaz tengelyesen szimmetrikus alakzat, amelynek t a szimmetria tengelye
- Pl.: Egyenlő szárú háromszög, szabályos háromszög, deltoid, húrtrapéz, rombusz, téglalap, négyzet, kör, parabola
Középpontos tükrözés
Definíció: Adott a sík egy O pontja, a középpontos tükrözés középpontja. Az O pontra vonatkozó középpontos tükrözés a sík egy tetszőleges O-tól különböző P pontjához azt a P’ pontot rendeli, amelyre az O pont a PP’ szakasz felezőpontja. Az O pont képe önmaga.
- Definíció: Ha egy ponthalmazhoz található olyan O pont, amelyre a vonatkozó képe önmaga, akkor ez a ponthalmaz középpontosan szimmetrikus alakzat, amelynek O a szimmetria középpontja.
- Pl.: paralelogramma, rombusz, téglalap, négyzet, kör, ellipszis, hiperbola
Alkalmazások
- építészet, művészet → főleg iszlám építészetben, mivel minden más tiltva van
- csempézés → Penrose féle csempézés
- szabályos 6 szögekből akármekkora területet le lehet fedni
- szabályos 3 szögekből akármekkora területet le lehet fedni
- szabályos 4 szögekből akármekkora területet le lehet fedni
- több nincs
- plusz ezek keverékeiből.
- Kristályszerkezetek kutatása, kémia
- grafit → hatszög
- C_{60} → ötszög + hatszög
Legutóbb frissítve:2015-09-27 23:09
Megjegyzések
Hamarosan!