Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek.

A 19. században Felix Klein meghirdette az Erlangeni programban a geometriai transzformációk segítségével való felépítését az elemi geometriának.

Transzformációk

Definíció: Geometriai transzformációk azok a függvények, amelyek egy ponthalmazt ponthalmazra képeznek le.

Definíció: A geometriai transzformációk közül a távolságtartó transzformációkat egybevágósági transzformációknak nevezzük.

Távolságtartó leképezés: bármely két pont távolsága egyenlő képeik távolságával

Síkbeli egybevágósági transzformációk: tengelyes tükrözés, pontra vonatkozó tükrözés, pont körüli elforgatás, eltolás.

Közös tulajdonságok

• Kölcsönösen egyértelmű (egy pontnak egy képpont felel meg és fordítva).
• Szögtartó (minden szög egyenlő nagyságú a képével).

Tétel: Bármely egybevágóság összetehető a 3 transzformáció összegéből.

Egybevágóság

Két síkidom egybevágó, ha létezik olyan egybevágósági transzformáció, amellyel fedésbe lehet őket hozni.

• Két háromszög egybevágó ha:
  • oldalai páronként egyenlők
  • egy oldal és a hozzátartozó két szög megegyezik
  • két oldal és a közbezárt szög megegyezik
  • két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög megegyezik
• Két sokszög egybevágó ha:
  • oldalaik páronként, egy szögei páronként megegyeznek (négyzet, rombusz)

Sokszögek tulajdonságai

Definíció: Egy sokszög konvex, ha bármely két belső pontját összekötő szakasz minden pontja a sokszögön belül van.

Tétel: Egy n oldalú konvex sokszög átlóinak a száma \frac{n * (n - 3)}{2}.

• Bizonyítás!

Tétel: Egy n oldalú konvex sokszög külső szögeinek összege 360°.

• Bizonyítás!

Szabályos sokszögek

• n oldalú szabályos sokszögnek n db szimmetriatengelye van. Ha n páros, akkor a tengelyek egyik fele a szemközti csúcsokra illeszkedik, másik fele a szemközti oldalak felezőmerőlegese. Ha n páratlan, akkor a tengelyek a csúcsokat az átellenes oldal felezőpontjával kötik össze
• Szabályos sokszögek euklideszi módon szerkeszthetőek, ha n egy 2 hatvány és különböző Fermat-prímek szorzata
  • Gauss a szabályos 17 szöget kérte a sírkövére máig nem kapta meg

Szimmetria tulajdonságai

Tengelyes tükrözés

Definíció: Adott a sík egy t egyenese, ez a tengelyes tükrözés tengelye. A t tengelyre vonatkozó tengelyes tükrözés a sík tetszőleges t-re nem illeszkedő P pontjához azt a P’ pontot rendeli, amelyre fennáll, hogy PP’ szakasz felezőmerőlegese a t tengely. A t egyenes képe önmaga.

• Definíció: Ha egy ponthalmazhoz található olyan t egyenes, amelyre vonatkozó tükörképe önmaga, akkor ez a ponthalmaz tengelyesen szimmetrikus alakzat, amelynek t a szimmetria tengelye
• Pl.: Egyenlő szárú háromszög, szabályos háromszög, deltoid, húrtrapéz, rombusz, téglalap, négyzet, kör, parabola

Középpontos tükrözés

Definíció: Adott a sík egy O pontja, a középpontos tükrözés középpontja. Az O pontra vonatkozó középpontos tükrözés a sík egy tetszőleges O-tól különböző P pontjához azt a P’ pontot rendeli, amelyre az O pont a PP’ szakasz felezőpontja. Az O pont képe önmaga.

• Definíció: Ha egy ponthalmazhoz található olyan O pont, amelyre a vonatkozó képe önmaga, akkor ez a ponthalmaz középpontosan szimmetrikus alakzat, amelynek O a szimmetria középpontja.
• Pl.: paralelogramma, rombusz, téglalap, négyzet, kör, ellipszis, hiperbola

Alkalmazások

• építészet, művészet → főleg iszlám építészetben, mivel minden más tiltva van
• csempézés → Penrose féle csempézés
  • szabályos 6 szögekből akármekkora területet le lehet fedni
  • szabályos 3 szögekből akármekkora területet le lehet fedni
  • szabályos 4 szögekből akármekkora területet le lehet fedni
  • több nincs
  • plusz ezek keverékeiből.
• Kristályszerkezetek kutatása, kémia
  • grafit → hatszög
  • C_{60} → ötszög + hatszög

Megjegyzések

Hamarosan!