A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometriai tárgyalásban). Kerületi szög, középponti szög, látószög.

Definíció: Adott ponttól adott távolságra lévő pontok halmaza.

Részei: sugár, körcikk, körgyűrű, körszelet, húr, szelő

Sugár: A kör középpontja és a kör közötti távolság

Körcikk: Két sugár és a körív által határolt terület, ahol a körív hosszát egyértelműen meghatározza a körcikkhez tartozó középponti szög.

Körgyűrű: A kör és egy a kör sugaránál kisebb sugarú kör által határol terület

Körszelet: A kör egy húrja és a körív által határolt terület

Húr: körvonal két pontját összekötő szakasz

Szelő: húr egyenese

Koncentrikus körök: ha a középpontjaik egy pontba esnek

• Definíció: Ha egy egyenesnek két közös pontja van a körrel, akkor szelőnek nevezzük.

Átmérő: középponton áthaladó húr

Tétel: A kör:

• középpontján áthaladó tetszőlegese egyenesre nézve tengelyesen szimmetrikus
• középpontjára nézve középpontosan szimmetrikus
• középpontja körül forgatásra forgásszimmetrikus.

Kör és egyenes kölcsönös helyzete

• nincs közös pontjuk
• 1 közös pontjuk van
• 2 közös pontjuk van

Definíció: Ha egy egyenesnek pontosan egy közös pontja van a körrel, akkor az egyenest a kör érintőjének nevezzük, közös pontjukat pedig érintési pontnak nevezzük.

Tétel: A kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra

Tétel: Egy külső pontból a körhöz húzott két érintő szakasz egyenlő hosszú.

Körhöz húzott érintő- és szelőszakaszok tétele: Egy adott körhöz adott külső pontból húzott érintőszakasz hossza a mértani közepe az adott ponton át a körhöz húzott szelőszakaszoknak.

Kerületi és középponti szögek

• Középponti szög: az a szög, amelynek a csúcsa, egy kör középpontja és a szárai pedig a kör sugarai
• Kerületi szög: melyeknek a csúcsa egy körön van, szárai pedig a kör húrjai
• Tétel: azonos körben, azonos ívekhez azonos középponti szögek tartoznak.
  • Az egység sugarú körben a 180°-os középponti szöghöz pi hosszúságú körív tartozik
• Tétel: egy adott körben a középponti szög egyenesen arányos a hozzátartozó körívvel
• Kerületi és középponti szögek tétele:
  • Egy adott körben ugyanakkora ívhez tartozó középponti szög kétszerese a kerületi szögnek
  • Itt érdemes bemutatni a kerületi és középponti szögek tételéhez tartozó bizonyítást, persze csak ha azt választottuk a tételhez.
  • következménye a Thalesz-tétel
• Thalesz tétele és annak megfordítása: Azon pontok halmaza a síkban, amelyekből a sík egy AB szakasza derékszögben látszik, az AB átmérőjű körvonal, kivéve az A és a B pontokat.

Látószög: A pontok ahonnan egy adott szakasz α szög alatt látszik

• a Thalesz tétel egy speciális esete a látószögnek

Szemléltetés

Alkalmazások

• matekon belül: érintőszerkesztés
• színházban a VIP rész kialakítása → legjobb látószög a cél
• kamerák beállítása épületek védelmére
• távcsövek telepítésekor a lehető legnagyobb látószög a cél
• fényképezőgép lencsebeállításai

Megjegyzések

Hamarosan!