Vektorok, vektorműveletek. Vektorfelbontási tétel. Vektorok koordinátái. Skaláris szorzat.

Fogalma: az irányított szakaszt vektornak nevezzük

• független számpárral/számhármassal/szám n-essel megadott mennyiség (vektor dimenziói)
  • a vektorok igazi létjogosultságát a fizika igényelte
  • a valós számok is felfoghatóak egydimenziós vektorként
    • komplexek kétdimenziósként

Definíció: a vektor abszolút értéke a vektort meghatározó irányított szakasz hossza

Definíció: két vektor egyirányú, ha a két vektor párhuzamos, és azonos irányba mutat

Definíció: két vektor egyenlő, ha egyirányúak és abszolút értékük is egyenlő

Vektorműveletek: összeadás, kivonás, nullvektor, ellentett vektor

Vektorok összege annak az eltolásnak a vektora, amellyel helyettesíthető az a vektorral és a b vektorral történő egymásutánja

Vektorösszeadás tulajdonságai:

• kommutatív: a + b = b + a
• asszociatív: (a + b) + c = a + (b + c)

Különbségvektor az a vektor, amelyhez a b vektort adva az a vektort kapjuk

Definíció: egy nullvektortól különböző a vektor tetszőleges \lambda valós számmal (skalárral) vett szorzata egy olyan vektor, amelynek abszolút értéke |\lambda| * |a| és \lambda > 0 esetén a-val egyirányú, \lambda < 0 esetén a-val ellentétes irányú

Skalárral vett szorzat:

• disztributív: \alpha * a + \beta * a = ( \alpha + \beta ) * a
• asszociatív: \alpha * ( \beta * a) = ( \alpha * \beta ) * a

Két vektor skaláris szorzata: az a szám, ami a két vektor nagyságának és a közbezárt szögük koszinuszának a szorzatával egyezik meg

• disztributív
• nem asszociatív
• kommutatív \overline{a} * \overline{b} = \overline{b} * \overline{a}

Vektoriális szorzás: két vektor szorzatán értjük azt a vektort, amelynek nagysága a két vektor hosszának és az általuk bezárt szög szinuszának a szorzata

• iránya merőleges a két vektor által meghatározott síkra
• nem kommutatív

Vegyes szorzat: három vektor vegyes szorzata megadja az általuk kifeszített paralelepipedon térfogatát. determinánssal számolható

Vektorok felbontása:

• ha két vektor párhuzamos, egy számmal (skalár) szorzással egyik a másikból felírható
• ha két vektor nem párhuzamos, akkor független vektorok, egyik a másikból nem fejezhető ki
• ha egy síkban két nem párhuzamos vektort rögzítünk, akkor a sík bármely vektora előállítható ezek lineáris kombinációjaként
  • több dimenzióban is működik, 3-ban 3-mal, n-ben n-nel

Lineáris kombináció: tetszőleges a, b vektorokkal és \alpha , \beta valós számokkal képzell v = \alpha * a + \beta * b vektort az a és b vektorok lináris kombinációjának nevezzük

a lináris kombinációban szereplő a és b vektorokat bázisvektoroknak nevezzük

Vektorok koordinátái

a síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben a bázisvektorok az origóból kiinduló egymásra merőleges egységvektorok, melyek az origótól kifelé mutatnak

Definíció: a derékszögű koordináta-rendszerben egy vektor koordinátáinak nevezzük az origó kezdőpontú, vele egyenlő helyvektor végpontjának koordinátáit \overline{a}(a_1, a_2)

Tétel: vektor koordinátáinak kiszámítása kezdő- és végpontjának segítségével: A(a_1, a_2), B(b_1, b_2) \to AB(b_1-a_1, b_2-a_2)

Vektorműveletek koordinátákkal:

• összeg: \overline{a} + \overline{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
• különbség: \overline{a} - \overline{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)
• számszoros: \lambda * \overline{a} (\lambda * a_1, \lambda * a_2)
• 90°-os elforgatás
  • +90° \overline{a}(a_1, a_2) \to \overline{a}'(-a_2, a_1)
  • -90° \overline{a}(a_1, a_2) \to \overline{a}"(a_2, -a_1)

Tetszőleges két vektor skalárszorzata: \overline{a} * \overline{b} = |\overline{a}| * |\overline{b}| * cos \alpha

két vektor szorzata akkor és csak akkor 0, ha merőlegesek egymásra

• bizonyítás

vektor → 1 soros mátrix

Alkalmazások

• szögfüggvények
• addíciós tételek bizonyítása
• két vektor vektoriális szorzatának nagysága pralelogramma területe
• eltolás transzformáció

Fizika

• vektormennyiségek: v, a F, p, E, B
• munka → skalárszorzat
• vektoriális szorzat → lorentz erő, forgatónyomaték
• mátrixok mint adatkezelés

Megjegyzések

Hamarosan!