Vektorok, vektorműveletek. Vektorfelbontási tétel. Vektorok koordinátái. Skaláris szorzat.
Fogalma: az irányított szakaszt vektornak nevezzük
- független számpárral/számhármassal/szám n-essel megadott mennyiség (vektor dimenziói)
- a vektorok igazi létjogosultságát a fizika igényelte
- a valós számok is felfoghatóak egydimenziós vektorként
- komplexek kétdimenziósként
Definíció: a vektor abszolút értéke a vektort meghatározó irányított szakasz hossza
Definíció: két vektor egyirányú, ha a két vektor párhuzamos, és azonos irányba mutat
Definíció: két vektor egyenlő, ha egyirányúak és abszolút értékük is egyenlő
Vektorműveletek: összeadás, kivonás, nullvektor, ellentett vektor
Vektorok összege annak az eltolásnak a vektora, amellyel helyettesíthető az a vektorral és a b vektorral történő egymásutánja
Vektorösszeadás tulajdonságai:
- kommutatív: a + b = b + a
- asszociatív: (a + b) + c = a + (b + c)
Különbségvektor az a vektor, amelyhez a b vektort adva az a vektort kapjuk
Definíció: egy nullvektortól különböző a vektor tetszőleges \lambda valós számmal (skalárral) vett szorzata egy olyan vektor, amelynek abszolút értéke |\lambda| * |a| és \lambda > 0 esetén a-val egyirányú, \lambda < 0 esetén a-val ellentétes irányú
Skalárral vett szorzat:
- disztributív: \alpha * a + \beta * a = ( \alpha + \beta ) * a
- asszociatív: \alpha * ( \beta * a) = ( \alpha * \beta ) * a
Két vektor skaláris szorzata: az a szám, ami a két vektor nagyságának és a közbezárt szögük koszinuszának a szorzatával egyezik meg
- disztributív
- nem asszociatív
- kommutatív \overline{a} * \overline{b} = \overline{b} * \overline{a}
Vektoriális szorzás: két vektor szorzatán értjük azt a vektort, amelynek nagysága a két vektor hosszának és az általuk bezárt szög szinuszának a szorzata
- iránya merőleges a két vektor által meghatározott síkra
- nem kommutatív
Vegyes szorzat: három vektor vegyes szorzata megadja az általuk kifeszített paralelepipedon térfogatát. determinánssal számolható
Vektorok felbontása:
- ha két vektor párhuzamos, egy számmal (skalár) szorzással egyik a másikból felírható
- ha két vektor nem párhuzamos, akkor független vektorok, egyik a másikból nem fejezhető ki
- ha egy síkban két nem párhuzamos vektort rögzítünk, akkor a sík bármely vektora előállítható ezek lineáris kombinációjaként
- több dimenzióban is működik, 3-ban 3-mal, n-ben n-nel
Lineáris kombináció: tetszőleges a, b vektorokkal és \alpha , \beta valós számokkal képzell v = \alpha * a + \beta * b vektort az a és b vektorok lináris kombinációjának nevezzük
a lináris kombinációban szereplő a és b vektorokat bázisvektoroknak nevezzük
Vektorok koordinátái
a síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben a bázisvektorok az origóból kiinduló egymásra merőleges egységvektorok, melyek az origótól kifelé mutatnak
Definíció: a derékszögű koordináta-rendszerben egy vektor koordinátáinak nevezzük az origó kezdőpontú, vele egyenlő helyvektor végpontjának koordinátáit \overline{a}(a_1, a_2)
Tétel: vektor koordinátáinak kiszámítása kezdő- és végpontjának segítségével: A(a_1, a_2), B(b_1, b_2) \to AB(b_1-a_1, b_2-a_2)
Vektorműveletek koordinátákkal:
- összeg: \overline{a} + \overline{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
- különbség: \overline{a} - \overline{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)
- számszoros: \lambda * \overline{a} (\lambda * a_1, \lambda * a_2)
- 90°-os elforgatás
- +90° \overline{a}(a_1, a_2) \to \overline{a}'(-a_2, a_1)
- -90° \overline{a}(a_1, a_2) \to \overline{a}"(a_2, -a_1)
Tetszőleges két vektor skalárszorzata: \overline{a} * \overline{b} = |\overline{a}| * |\overline{b}| * cos \alpha
két vektor szorzata akkor és csak akkor 0, ha merőlegesek egymásra
- bizonyítás
vektor → 1 soros mátrix
Alkalmazások
- szögfüggvények
- addíciós tételek bizonyítása
- két vektor vektoriális szorzatának nagysága pralelogramma területe
- eltolás transzformáció
Fizika
- vektormennyiségek: v, a F, p, E, B
- munka → skalárszorzat
- vektoriális szorzat → lorentz erő, forgatónyomaték
- mátrixok mint adatkezelés
Legutóbb frissítve:2016-02-18 11:09
Megjegyzések
Hamarosan!