Térelemek távolsága és szöge. Térbeli alakzatok. Felszín- és térfogatszámítás.

A matematika egyik legrégebbi területe. Euklidesz foglalkozott vele először.

Alapfogalmak: pont, egyenes, sík, tér

P és Q távolsága: d_{PQ} – két pont távolsága

• d_{PQ} \geq 0 és d_{PQ} = 0 akkor P=Q
• d_{PQ} = d_{QP}
• d_{PQ} + d_{QP} \geq d_{PR}

Pont és egyenes távolsága: egybeesnek: 0; pontból merőlegest bocsátunk az egyenesre és úgy mérjük meg a távolságát

Két egyenes távolsága: egyebeesnek: 0; párhuzamos esetén: pontból az egyenesekre merőleges szakasz hossza; kitérő egyenesek esetén: a merőleges vetületük által alkotott metszéspontba húzott merőleges szakasz hossza

Pont és sík távolsága: ha a pontot tartalmazza a sík: 0; a pontból a síkra bocsátott merőleges hossza (egy egyenes akkor merőleges egy síkra, ha merőleges minden olyan síkbeli egyenesre, ami a metszéspontjukon átmegy)

Egyenes és sík távolsága: ha tartalmazza a sík: 0; ha metszi: 0; ha párhuzamosak: az egyenes bármely pontjának a síktól való távolsága

Két sík távolsága: egybeeső: 0; ha párhuzamosak: az egyik sík tetszőleges pontjától való távolsága.

Szögek?

Nevezetes ponthalmazok

Két adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza – egyenes

Egy egyenestől és egy rá nem illeszkedő ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza. – parabola

Parabola: Adott síkban egy pont és egy rá nem illeszkedő egyenes, és azoknak a pontoknak a halmazát a síkban, amelyek a ponttól és az egyenestől egyenlő távolságra vannak, parabolának nevezzük.

Három adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza:

• Háromszög oldalfelező merőlegesei → háromszög köré írható kör középpontja
  • Itt érdemes az előbbi tétel bizonyítását elmondani ha ezt választottad a tételhez.

Három egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza:

• Háromszög szögfelezői → háromszögbe írható kör középpontja
  • Itt érdemes az előbbi tétel bizonyítását elmondani ha ezt választottad a tételhez. → Cheva tételének megemlítése meglepő húzás lehet.

Ellipszis: adott síkban két egymásra nem illeszkedő pont és egy a távolságuknál nagyobb pozitív valós szám, azoknak a pontoknak a halmazát a síkban, amelyeknek a két ponttól mért távolságának az összege az adott szám, ellipszisnek nevezzük.

Hiperbola: adott a síkban két pont és egy a távolságuknál kisebb pozitív szám, azoknak a pontoknak a halmazát a síkban, amelyeknek a két ponttól mért távolságának a különbségének az abszolút értéke megegyezik az adott számmal, hiperbolának nevezzük.

Kör

• Középponti szög: az a szög, amelynek a csúcsa, egy kör középpontja és a szárai pedig a kör sugarai
• Kerületi szög: melyeknek a csúcsa egy körön van, szárai pedig a kör húrjai
• Tétel: azonos körben, azonos ívekhez azonos középponti szögek tartoznak.
  • Az egység sugarú körben a 180°-os középponti szöghöz pi hosszúságú körív tartozik
• Tétel: egy adott körben a középponti szög egyenesen arányos a hozzátartozó körívvel
• Kerületi és középponti szögek tétele:
  • Egy adott körben ugyanakkora ívhez tartozó középponti szög kétszerese a kerületi szögnek
  • következménye a Thalesz-tétel

Alkalmazások

• nevezetes függvények képei (parabola, hiperbola, ellipszis)
• paraboloid antennák, tükrök
  • pl.: holdi távcső tükre ahol higany megforgatásával akarnak homorú tükröt létrehozni
• pohár víz megforgatása
• bolygók ellipszis pályája
• üstökösök parabola pályája
• építészet: ellipszis, hiperbola...
  • de a nevezetes tartó boltívek valójában láncgörbék, azaz a cosinus hiperbolikus függvény képei

Megjegyzések

Hamarosan!