Térelemek távolsága és szöge. Térbeli alakzatok. Felszín- és térfogatszámítás.
A matematika egyik legrégebbi területe. Euklidesz foglalkozott vele először.
Alapfogalmak: pont, egyenes, sík, tér
P és Q távolsága: d_{PQ} – két pont távolsága
- d_{PQ} \geq 0 és d_{PQ} = 0 akkor P=Q
- d_{PQ} = d_{QP}
- d_{PQ} + d_{QP} \geq d_{PR}
Pont és egyenes távolsága: egybeesnek: 0; pontból merőlegest bocsátunk az egyenesre és úgy mérjük meg a távolságát
Két egyenes távolsága: egyebeesnek: 0; párhuzamos esetén: pontból az egyenesekre merőleges szakasz hossza; kitérő egyenesek esetén: a merőleges vetületük által alkotott metszéspontba húzott merőleges szakasz hossza
Pont és sík távolsága: ha a pontot tartalmazza a sík: 0; a pontból a síkra bocsátott merőleges hossza (egy egyenes akkor merőleges egy síkra, ha merőleges minden olyan síkbeli egyenesre, ami a metszéspontjukon átmegy)
Egyenes és sík távolsága: ha tartalmazza a sík: 0; ha metszi: 0; ha párhuzamosak: az egyenes bármely pontjának a síktól való távolsága
Két sík távolsága: egybeeső: 0; ha párhuzamosak: az egyik sík tetszőleges pontjától való távolsága.
Szögek?
Nevezetes ponthalmazok
Két adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza – egyenes
Egy egyenestől és egy rá nem illeszkedő ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza. – parabola
Parabola: Adott síkban egy pont és egy rá nem illeszkedő egyenes, és azoknak a pontoknak a halmazát a síkban, amelyek a ponttól és az egyenestől egyenlő távolságra vannak, parabolának nevezzük.
Három adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza:
- Háromszög oldalfelező merőlegesei → háromszög köré írható kör középpontja
- Itt érdemes az előbbi tétel bizonyítását elmondani ha ezt választottad a tételhez.
Három egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza:
- Háromszög szögfelezői → háromszögbe írható kör középpontja
- Itt érdemes az előbbi tétel bizonyítását elmondani ha ezt választottad a tételhez. → Cheva tételének megemlítése meglepő húzás lehet.
Ellipszis: adott síkban két egymásra nem illeszkedő pont és egy a távolságuknál nagyobb pozitív valós szám, azoknak a pontoknak a halmazát a síkban, amelyeknek a két ponttól mért távolságának az összege az adott szám, ellipszisnek nevezzük.
Hiperbola: adott a síkban két pont és egy a távolságuknál kisebb pozitív szám, azoknak a pontoknak a halmazát a síkban, amelyeknek a két ponttól mért távolságának a különbségének az abszolút értéke megegyezik az adott számmal, hiperbolának nevezzük.
Kör
- Középponti szög: az a szög, amelynek a csúcsa, egy kör középpontja és a szárai pedig a kör sugarai
- Kerületi szög: melyeknek a csúcsa egy körön van, szárai pedig a kör húrjai
- Tétel: azonos körben, azonos ívekhez azonos középponti szögek tartoznak.
- Az egység sugarú körben a 180°-os középponti szöghöz pi hosszúságú körív tartozik
- Tétel: egy adott körben a középponti szög egyenesen arányos a hozzátartozó körívvel
- Kerületi és középponti szögek tétele:
- Egy adott körben ugyanakkora ívhez tartozó középponti szög kétszerese a kerületi szögnek
- következménye a Thalesz-tétel
Alkalmazások
- nevezetes függvények képei (parabola, hiperbola, ellipszis)
- paraboloid antennák, tükrök
- pl.: holdi távcső tükre ahol higany megforgatásával akarnak homorú tükröt létrehozni
- pohár víz megforgatása
- bolygók ellipszis pályája
- üstökösök parabola pályája
- építészet: ellipszis, hiperbola...
- de a nevezetes tartó boltívek valójában láncgörbék, azaz a cosinus hiperbolikus függvény képei
Legutóbb frissítve:2015-09-27 23:22
Megjegyzések
Hamarosan!