A terület fogalma. Területszámítás elemi úton és az integrálszámítás felhasználásával.

Szinte ősidők óta ismeri és használja az emberiség. Minden ókori kultúra foglalkozott a problémával.

Definíció: A terület mérése azt jelenti, hogy minden síkidomhoz hozzárendelünk egy pozitív valós számot, amelyet a síkidom területének nevezünk. Ez a hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik (axiómákkal):

• Az egységnyi oldalhosszúságú négyzet területe egységnyi.
• Egybevágó sokszögek területe egyenlő.
• Ha egy sokszöget véges számú sokszögre darabolunk, akkor az egyes részek területének összege egyenlő az eredeti sokszög területével.

Alakzatok területének levezetése

Tétel: A téglalap területe a két szomszédos oldalának szorzatával egyenlő. T=a*b.

Tétel: a paralelogramma területe: T=a*m_a

Tétel: a háromszög területe: T=\frac{a*m_a}{2}

Tétel: A trapéz területe az alapok számtani közepének és a trapéz magasságának a szorzata: T=\frac{a+c}{2*m}

Tétel: Minden sokszög véges számú háromszögre darabolható, így a sokszög területe egyenlő ezeknek a háromszögeknek a területösszegével

Háromszög területei:
T = \frac{( a * m_a)}{2} = \frac{( a * b * \sin\gamma)}{2} = r * s = \frac{(a * b * c)}{4 * R} = \sqrt{(s*(s-a)(s-b)(s-c))}
ahol r a beírt kör sugara, R a körülírt kör sugara, s pedig a félkerület.

Négyszög területe: Az átlói hossza és az átlók által bezárt szög szinuszának a szorzatának fele: T=(e * f * \sin \gamma)/2

Tétel: a deltoid területe az átlói szorzatának a fele

Tétel: Szabályos sokszög területét úgy kapjuk, hogy középpontjukat összekötjük a csúcsokkal és így n db egyenlő szárú háromszögre bontjuk a sokszöget.

Tétel: r sugarú kör területe: r^2 * \pi

Határozott integrál

A határozott integrál segítségével a függvénygörbe vonala és az x-tengely által bezárt területet is meg tudjuk határozni. Görbe alatti terület.

Definíció: Görbe alatti területnek nevezzük egy [a;b] intervallumon folytonos, korlátos, pozitív értékű f függvény görbéjének az intervallumhoz tartozó íve, az x=0, x=b egyenesek és az x tengely által határol területet.

Definíció: Az [a;b] intervallumon korlátos, f függvény integrálható, ha csak egyetlen olyan szám található, amely az összes alsó és az összes felső közé esik. Ezt az egyetlen számot nevezzük a függvény [a;b] intervallumon vett határozott integráljának. Jelölés: \int_a^b f(x) dx

Newton-Leibniz tétel: Legyen f integrálható [a,b]-ben. Ha az F függvény folytonos [a,b]-ben, differenciálható (a,b)-ben és F'(x) = f(x) minden x ϵ (a,b)-re, akkor \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) .

Alkalmazások

• Földmérés
• Fragmentáció (ökológiai probléma)
  • ha egy erdőt ketté vág egy autóút merül fel a probléma, az állatok akik nem szeretnek a terület kerületénél élni azok befelé költöznek. A kerület terület aránya változik és a kerület jobban változik a területhez képest
• Fizika:
  • Munka, → azaz a görbe alatti terület
  • Varignan-tétel

Megjegyzések

Hamarosan!