A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje. Nevezetes eloszlások (binomiális, hipergeometrikus).

Pascal megbízásra foglalkozott szerencsejátékokkal. Játékelmélet.

Definíció: A valószínűség egy 0 és 1 közötti valós szám.

Eseményalgebra

Definíció: Az A esemény komplementere az az esemény, amely akkor következik be, amikor A nem következik be.

Definíció: Az A és B események összege az az esemény, amely akkor következik be, amikor A vagy B bekövetkezik. A+B

Definíció: Az A és B események szorzata az az esemény, amely akkor következik be, amikor A és B bekövetkezik. A*B

Definíció: Az A és B események egymást kizárják, ha egyszerre nem következhetnek be.

A halmazműveletekhez hasonlóan működnek.

Kombinatorikai modell

Definíció: Ha elvégzünk n-szer egy kísérletet, és ebből az A esemény k-szor következik be, akkor az A esemény relatív gyakorisága a k/n hányados.

Definíció: Ha sokszor elvégzünk egy kísérletet, akkor megfigyelhetjük, hogy egy A esemény relatív gyakorisága egy szám körül ingadozik. Ezt a számot nevezzük az A esemény valószínűségének. P(A)

Definíció: A valószínűség kiszámításának klasszikus modelljét akkor alkalmazhatjuk, ha egy kísérletnek véges sok kimenetele van és ezek valószínűsége egyenlő. Ekkor az A esemény valószínűsége: P(A) = kedvező/összes

A valószínűségszámítás axiómái

• Tetszőleges A esemény esetén 0 \leq P(A) \leq 1
• Biztos esemény valószínűsége 1, lehetetlen eseményé 0
• Ha A és B egymást kizáró események, akkor P(A + B) = P(A) + P(B)
• Ha A és B tetszőleges esemény, akkor P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A * B)
• P(A) + P(\overline{A}) = 1

Feltételes valószínűség: Az A esemény B-re vonatkozó feltételes valószínűsége: P(A | B) = \frac{P(A * B)}{P(B)}

• Ez annak a valószínűsége, hogy az A esemény bekövetkezik, feltéve, hogy a B esemény bekövetkezik.

Definíció: A binomiális eloszlás olyan kísérletnél fordul elő, amelynek csak két kimenetele lehetséges: az A p valószínűséggel bekövetkezik és 1-p valószínűséggel nem következik be.

Tétel: Binomiális eloszlásnál ha a kísérletet n-szer ismételjük, akkor annak a valószínűsége, hogy az A esemény k-szor következik be:
P(\xi = k) = {n \choose k} * p^k * (1 - p)^{n - k} \text{,ahol } k \leq n.

• Binomiális eloszlásra vezetnek a visszatevéses mintavétel esetei, ahol n elem közül p valószínűséggel választunk valamilyen tulajdonsággal rendelkezőt oly módon, hogy a kivett elemet az újabb húzás előtt visszatesszük.

Definíció: A visszatevés nélküli mintavétel eloszlását hipergeometrikus eloszlásnak nevezzük.

Tétel: Hipergeometrikus eloszlásnál legyen N db elemünk, amelyből M db elem rendelkezik egy adott A tulajdonsággal, N-M db pedig nem. Kiválasztunk véletlenszerűen visszatevés nélkül n db-ot. Annak a valószínűsége, hogy a kihúzott n db elem közül k db rendelkezik az A tulajdonsággal:

P(\xi = k) = \frac{{M \choose k} * {N - M \choose n - k}}{{N \choose n}} \text{,ahol } k \leq n.

Bayes-tétel

Arra jó, hogy ha az egyik esemény a másikra vonatkozó feltételes valószínűségét ismerem akkor meg tudjam fordítani.

P(B_k | A) = \frac{P(A | B_k) * P(B_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(A | B_i) * P(B_i)}

Alkalmazások

• amit a kombinatorikában többé-kevésbé
• Bayes tétel alapján sok spamszűrő működik → szóelemzés
• Gyakorisági elemzés
• Kódfejtés

Megjegyzések

Hamarosan!